Dobbeltbrytning

Når et stykke kalkspat ligger over et rutet papir, kan man se dobbelbrytingen.

Dobbeltbrytning er et optisk fenomen der en lystråle spaltes i to ved å gå gjennom et krystallinsk materiale. Effekten ble først observert i kalkspat (islandsspat) ved at en bakomliggende figur eller tekst vil sees dobbelt. I noen retninger gjennom krystallen er der ingen dobbeltbrytning. En slik retning kalles en optisk akse.

Hver av de to nye lysstrålene er begge lineærpolariserte vinkelrett på hverandre og beveger seg gjennom materialet med forskjellige hastigheter eller tilsvarende brytningsindekser. De vil i allminnelighet variere med retningen lyset har i krystallen. Av den grunn kan dobbeltbrytende materialer deles opp i to hovedklasser. Når bare en brytningsindeks varierer med retningen, har den bare en optisk akse og krystallen sies å være «enakset» (engelsk: uniaxial). Derimot når begge indeksene tar forskjellige verdier i forskjellige retninger, har den to optiske akser slik at den omtales som «toakset» (engelsk: biaxial).

Kalkspat er enakset og en av krystallene hvor effekten er størst. Lysstrålen med konstant brytningsindeks kalles den «ordinære» og følger Snells brytningslov, mens den andre med variabel brytningsindeks er den «ekstraordinære». Hos en toakset krystall er begge lysstrålene ekstraordinære.

Dobbeltbrytning kan også frembringes ved å utsette et materiale for et mekanisk spenning, elektriske eller magnetiske felt. Effekten anvendes i mange optiske instrument. Et av de første var Nicols prisme som kan benyttes både til å produsere og analysere polarisert lys. I dag benyttes effekten i LCD dataskjermer med flytende krystaller. Tidligere ble solbriller fremstilt med lignende materialer for å redusere sjenerende, reflektert lys. De første ble fremstilt av Polaroid Corporation.

Historie

Dobbeltbrytning ble for første gang grundig studert av den danske matematiker Rasmus Bartholin som hadde fattet interesse for effekten i kalsittkrystaller som ble funnet på Island. Resultatet av sine undersøkelser publiserte han i 1669 i en avhandling med tittel Experimenta chrystalli Islandici. Ved å rotere krystallen, oppdaget han at det ene bildet av et punkt også roterte, mens det andre forble i ro som å se gjennom vanlig glass. Det første bildet tilskrev han en ekstraordinær lysstråle, mens det andre ble dannet av en ordinær stråle.^[1]

Den nederlandske fysiker Christian Huygens fattet også interesse for det samme fenomenet. I sitt store verk Traité de la lumière fra 1690 beskrev han lys som bølger og kunne dermed forklare de fleste observerte fenomen i optikken. Utbredelse av en slik bølge var gitt ved det som i dag omtales som Huygens prinsipp. Det sier at hvert punkt i en eksisterende bølgefront gir opphav til små kulebølger som bygger opp en ny bølgefront tilhørende en ordinær lysstråle.

Når en lysstråle går gjennom en dobbeltbrytende krystall, vil den vanligvis splittes i to nye stråler som begge er planpolariserte.

I en dobbeltbrytende krystall kan det på en eksisterende bølgefront, ikke bare dannes nye kulebølger, men også bølger som brer seg utover i forskjellige retninger med ulike hastigheter. Istedenfor å danne en kulebølge, vil man dermed i hvert punkt også få dannet en ny bølge med form som en ellipsoide. Det er disse som bygger opp den ekstraordinære lysstrålen.^[2]

Denne beskrivelsen til Huygens fikk liten oppslutning i de følgende årene da Newtons beskrivelse av lys som en strøm av partikler var blitt den dominerende teorien. Dette forandret seg på begynnelsen av 1800-tallet da franske fysikere oppdaget polarisasjon av reflektert lys som de studerte ved hjelp av dobbeltbrytende krystaller.

Som følge av mange eksperimentelle undersøkelser og teoretiske betraktninger kom Augustin Fresnel til at Huygens forståelse av lys som en bølgebevegelse var den riktige, men med den avgjørende forskjellen at svingningene i bølgene måtte være transverse. De skulle foregå i en elastisk eter som måtte ha spesielle egenskaper. Dobbeltbrytning ville oppstå i et slikt medium hvis det ikke var isotropt slik at bølgehastigheten ville bli ulik i forskjellige retninger.^[3]

Omtrent femti år senere viste Maxwell at lys er transverse, elektromagnetiske bølger. På begynnelsen av 1900-tallet kom Einstein frem til at Maxwells teori er uavhengig av en eter. Dobbeltbrytning skyldes at noen dielektrisk materialer er anisotrope på grunn av deres krystallstruktur eller egenskapene til molekylene og atomene de består av.^[1]

Indeksellipsoiden

Lys beveger seg gjennom et materiale på en måte som er styrt av Maxwells ligninger. Når materialet er transparent, er det dielektrisitetskonstanten ε som bestemmer de optiske egenskapene til materialet. Den forbinder det elektriske feltet E med forskyvningsfeltet D = ε E. En elektromagnetisk bølge i et isotropt materialer har en brytningsindeks n = √ε som er den samme i alle retninger.

Derimot i en anisotrop krystall er ikke vektorfeltene E og D nødvendigvis parallelle. Men det kan likevel alltid finnes et kartesisk koordinatsystem hvor komponentene til disse feltene er proporsjonale med hverandre slik at D_x = ε_xE_x, D_y = ε_yE_y og D_z = ε_zE_z. I dette spesielle koordinatsystemet vil da en konstant elektriske feltenergitettheten (1/2)E⋅D definere en ellipsoide

{x^{2} \over n_{x}^{2}}+{y^{2} \over n_{y}^{2}}+{z^{2} \over n_{z}^{2}}=1

med akser n_x = √ε_x, n_y = √ε_y og n_z = √ε_z der koordinatene (x, y, z) er proporsjonale med (D_x, D_y, D_y). Dette er indeksellipsoiden for materialet.^[4] Den blir også kalt for «Fresnel-ellipsoiden» da Fresnel kom frem til den i sin mekaniske modell for lysets gang i et anisotropt materiale. På hans tid hadde man ikke noen elektromagnetisk forståelse av lysets egenskaper.^[3]

Fresnel viste hvordan man kunne beregne hastigheten til en bølge ved hjelp av denne ellipsoiden. Hvis bølgen har en retning k, tenker man seg et plan gjennom ellipsoidens sentrum. Det vil skjære den i en ellipse som har halvakser med lengder n₁ og n₂ som kan regnes ut fra kjennskap til retningen k. Disse to størrelsene er brytningsindeksene som tilsvarer to mulige hastigheter for bølgen. I hver retning eksisterer det derfor to tillatte bølger med vinkelrette polarisasjonsplan gitt ved retningene til de to hovedaksene. Da begge begge bølgene har hastigheter som varierer med retningen, kan de sies å være ekstraordinære og vil ikke følge Snells lov for vanlig lysbrytning.

Geometriske betraktninger viser at den generelle ellipsen som oppstår på denne måten, reduseres til en sirkel i to spesielle retninger av vektoren k.^[4] Da vil de to resulterende brytningsindeksene n₁ og n₂ være like store. I disse to retningene er det derfor ingen dobbeltbrytning slik at man har to optiske akser. Slike toaksete materialer har enten en triklinisk, monoklinisk eller en ortorombisk krystallstruktur.^[5]

I det spesielle tilfellet at n_x = n_y = n_z blir indeksellipsoiden en kule og alle snittflater vil være sirkler slik at brytningsindeksen er den samme i alle retninger. Slike symmetriske materialer har en kubisk krystastallstruktur. Det mest kjente er kanskje diamant.

Enakset dobbeltbrytning

Den ordinære bølgen har samme **brytningsindeks** i alle retninger, mens for den ekstraordinære bølgen avtar den med vinkelen som den danner med den optiske aksen ved negativ dobbeltbrytning *n_e* < *n_o*.

For materialer som har enten en trigonal, tetragonal eller heksagonal krystallstruktur er to av aksene i snittellipsen like store. Indeksellipsoiden vil da være rotasjonssymmetrisk om den tredje aksen slik at den er en sfæroide. Snittellipsen gjennom dens sentrum vil da ha en halvakdse med konstant lengde uavhengig av retningen k. Det er derfor naturlig å benevne den tilsvarende brytningsindeksen n_o = n_x = n_y for den «ordinære brytningsindeksen», mens n_e = n_z er den «ekstraordinære».

Når bølgeretningen k er langs denne tredje aksen, vil snittellipsen være en sirkel med begge halvakser lik med n_o. Begge polarisasjonsretningene tilsvarer derfor bølger som beveger seg med samme hastighet. Denne tredje retningen, som er rotasjonsaksen til ellipsoiden, er derfor også den optiske aksen i materialet.

For en vilkårlig bølgeretning k har snittellipsen en halvakse med lengde n_o og forskyvningsfelt D vinkelrett på både denne retningen og den optiske aksen. Dette representerer den ordinære bølgen. Men samtidig opptrer en ekstraordinær bølge som tilsvarer den andre halvaksen som ligger i polarisasjonsplanet definert ved k og den optiske aksen. Lengden av denne halvaksen er en variabel brytningsindeks

{1 \over n_{\theta }^{2}}={\cos ^{2}\theta  \over n_{o}^{2}}+{\sin ^{2}\theta  \over n_{e}^{2}}

der θ er vinkelen mellom retningen k og den optiske aksen.^[4] Den er derfor gitt som variabel radius i en annen ellipse med halvakse n_o langs den optiske aksen og n_e normalt på denne. Når θ = 0, blir denne effektive brytningsindeksen lik med n_o som betyr at begge bølgene sprer seg med samme hastighet. Men når vinkelen øker til θ = 90°, blir n = n_e . Denne verdien gir hastigheten til den ekstraordinære bølgen, mens den ordinære bølgen fortsatt utbrer seg med en hastighet gitt ved n_o.

Det meste kjente eksempel på en slik enakset krystall, er kalkspat som har n_e < n_o og sies å ha «negativ dobbelbrytning». Mer utbredt i naturen er bergkrystaller som også er enakset. De fremviser en positiv dobbeltbrytning, men den er meget liten og derfor vanskelig å observere.^[5]

Referanser

^ ^a ^b E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.
^ O. Darrigol, A History of Optics, Oxford University Press, Oxford (2012). ISBN 978-0-19-876695-7.
^ ^a ^b J.Z. Buchwald, The Rise of the Wave Theory of Light, The University of Chicago Press, Chicago (1989). ISBN 0-226-07886-8.
^ ^a ^b ^c M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 978-0-521-64222-4.
^ ^a ^b M. Alonso and E.J. Finn, Fundamental University Physics, Volume II, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1978).

Eksterne lenker

Sixty Symbols, Youtube, Double Vision, kort video som illustrerer dobbeltbrytning i en kalsittkrystall.

[Hecht-1] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.

[Darrigol-2] O. Darrigol, A History of Optics, Oxford University Press, Oxford (2012). ISBN 978-0-19-876695-7.

[Buchwald-3] J.Z. Buchwald, The Rise of the Wave Theory of Light, The University of Chicago Press, Chicago (1989). ISBN 0-226-07886-8.

[BW-4] M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 978-0-521-64222-4.

[AF-5] M. Alonso and E.J. Finn, Fundamental University Physics, Volume II, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1978).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]