Klukowski speelde tot op zijn zeventiende voor de Canadese clubs Oshawa Kicks en Scarborough Blues. In 1998 vertrok hij naar Europa, waar hij voor de Franse clubs Dijon (1998-1999), Tourcoing FC (1999-2000) en Lille (2000-2002) speelde. In 2002 ging hij dan naar La Louvière, zijn eerste Belgische club, waarmee hij in 2003 de Beker van België won.
Samen met teamgenoot Manasseh Ishiaku verkaste hij in januari 2005 naar Club Brugge, waar hij de vervanger moest worden van linksachter Peter Van Der Heyden. Na 5,5 jaar en 178 officiële wedstrijden (135 competitie, 15 beker, 26 Europees en twee supercupfinales) vertrok hij voor 750.000 euro naar het Turkse Ankaragücü, waar hij voor drie seizoenen tekende. Na 1 seizoen vertrok hij naar Manisaspor. In de zomer van 2012 vertrok hij naar APOEL Nicosia.