Nombor negatif

Sistem nombor matematik
Asas
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Nombor asli $\mathbb {N}$ Nombor negatif $\mathbb {Z} ^{-}$ Integer $\mathbb {Z}$ Nombor nisbah $\mathbb {Q}$ Nombor bukan nisbah $\mathbb {Q} '$ Nombor nyata $\mathbb {R}$ Nombor khayalan $\mathbb {I}$ Nombor kompleks $\mathbb {C}$ Nombor algebra ${\overline {\mathbb {Q} }}$ Nombor transenden $\mathbb {T}$
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion $\mathbb {H}$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion $\mathbb {O}$ Sedenion $\mathbb {S}$ Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor kompleks belah $\mathbb {R} ^{1,1}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal $\aleph _{n}$ Nombor perdana $\mathbb {P}$ Nombor p-adik Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik $x$ Nombor besar Pi $\pi$ Nombor Euler $e$ Unit khayalan $i$ Ketakterhinggaan $\infty$

Termometer dengan nilai suhu Fahrenheit negatif ( $-4$ ° $C$ )

Dalam matematik, definisi asas bagi nombor negatif adalah ia suatu nombor yang lebih kurang daripada 0. Nombor negatif mempunyai sifat

"berlawanan" kepada nombor positif.^[1] Nombor negatif ditandakan dengan "-" di hadapan nombornya.

Semua nombor negatif dilatak pada kiri garis nombor.

.

..

.

Aplikasi

Nombor negatif biasanya digunakan untuk mewakili suatu darjat kehilangan atau kekurangan. Sebagai contoh, hutang boleh dinilai sebagai aset negatif.

Sekiranya satu kuantiti memiliki dua sifat berlawanan, seperti cas elektron, maka satu daripadanya boleh diwakili sebagai positif dan negatif bagi sebaliknya. Nombor negatif digunakan bagi mewakili nilai kurang daripada sifar dalam skala, seperti skala suhu Celsius dan Fahrenheit.

Dalam simpan kira, jumlah terhutang selalunya diwakili oleh nombor merah, atau nombor dalam kurungan, sebagai tatatanda alternatif untuk mewakili nombor negatif.

.

Hukum Nombor Negatif

Operasi Aritmetik atas Nombor Negatif

Penambahan dan Penolakan

$a+(-b)=a-b$
$a-(-b)=a+b$
$-a-b=-(a+b)$

dimana $a,b\in \mathbb {R}$

Pendaraban dan Pembahagian

$a\times -b=-ab$
$-a\times -b=ab$
${\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}=-{\frac {a}{b}}$

dimana $a,b\in \mathbb {R}$

Pengeksponenan dan Punca Kuasa

$(-a)^{k}={\begin{cases}-a^{k},&{\text{jika }}n{\text{ a ialah ganjil}}\\a^{k},&{\text{ jika }}n{\text{ ialah genap}}\end{cases}}$

dimana $a\in \mathbb {R}$ dan $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ .

$a^{-k}={\frac {1}{a^{k}}}$

dimana $a\in \mathbb {R} ^{+}$ dan $k\in \mathbb {R}$ .

${\sqrt {-a}}={\sqrt {a}}\,i$

dimana $a\in \mathbb {R}$ dan $i$ ialah unit khayalan.

Nilai Mutlak

Nilai mutlak bagi suatu nombor $x$ ditakrifkan sebagai jarak daripada 0 kepada $x$ . Maka, $|-x|=x$ . Juga terdapat rumusan satu lagi;

$|-a\times b|=ab$

Hukum Ketidaksamaan

Jika $x$ ialah suatu nombor negatif, dan $s$ ialah suatu nombor positif, maka $s$ akan sentiasa lebih daripada $x$ ;

$\forall (s\in \mathbb {R} ^{+})\land (x\in \mathbb {R} ^{-}),\,s>x$

Jika suatu pernyataan kedtidaksamaan ${\frac {a}{b}}\gtreqless {\frac {c}{d}}$ didarabi dengan $-1$ , simbol ketidaksamaan terbalik, maka ${\frac {a}{b}}\lesseqgtr {\frac {c}{d}}$ .

$-1{\Bigl (}{\frac {a}{b}}\gtreqless {\frac {c}{d}}{\Bigr )}\Longrightarrow -{\frac {a}{b}}\lesseqgtr -{\frac {c}{d}}$

.

Sejarah

Nombor negatif hadir dalam catatan sejarah sejak buku Sembilan Bab Seni Matematik, yang wujud sejak zaman Dinasti Han Cina (202 SM – 220 M), tetapi mungkin memiliki kandungan yang lebih tua.^[2]

Liu Hui (s. abad ke-3) menetapkan peraturan untuk menambah dan menolak nombor negatif.^[3] Menjelang abad ke-7, ahli matematik India seperti Brahmagupta telah menerangkan penggunaan negatif nombor. Ahli matematik Islam mengembangkan lagi peraturan menolak dan mendarab nombor negatif dan menyelesaikan masalah dengan negatif pekali.^[4]

Sebelum konsep nombor negatif, ahli matematik seperti Diophantus dianggap penyelesaian negatif kepada masalah "palsu" dan persamaan yang memerlukan penyelesaian negatif digambarkan sebagai tidak masuk akal.^[5] Ahli matematik Barat seperti Gottfried Leibniz (1646–1716) menganggap nombor negatif sebagai tidak sah, tetapi masih menggunakannya dalam kiraaan.^[6]^[7]

.

Lihat juga

Rujukan

^ "Integers are the set of whole numbers and their opposites.", Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2nd Edition, Math Essentials, ISBN 978-0999443330
^ Struik, m/s. 32–33. "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."
^ Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. m/s. 88. ISBN 978-0-19-152383-0. Liu is explicit on this; at the point where the Nine Chapters give a detailed and helpful 'Sign Rule'
^ Rashed, R. (1994-06-30). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Springer. m/s. 36–37. ISBN 9780792325659.
^ Diophantus, Arithmetica.
^ Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, New York. m/s. 252.
^ Martha Smith. "History of Negative Numbers".

[1] "Integers are the set of whole numbers and their opposites.", Richard W. Fisher, No-Nonsense Algebra, 2nd Edition, Math Essentials, ISBN 978-0999443330

[struik33-2] Struik, m/s. 32–33. "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."

[Hodgkin-3] Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. m/s. 88. ISBN 978-0-19-152383-0. Liu is explicit on this; at the point where the Nine Chapters give a detailed and helpful 'Sign Rule'

[Rashed-4] Rashed, R. (1994-06-30). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. Springer. m/s. 36–37. ISBN 9780792325659.

[5] Diophantus, Arithmetica.

[6] Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, New York. m/s. 252.

[7] Martha Smith. "History of Negative Numbers".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]