Fungsi pemetakan

Dalam mekanik statistik, fungsi pemetakan Z merupakan kuantiti yang paling penting bagi mengekod sifat statistik bagi sesuatu sistem dalam keseimbangan termodinamik. Ia merupakan fungsi bagi suhu dan parameter lain, seperti isipadu gas. Kebanyakan pemboleh ubah termodinamik sistem, seperti jumlah tenaga, tenaga bebas, entropi dan tekanan, boleh dinyatakan dalam bentuk fungsi pemetakan atau terbitannya.

Terdapat beberapa jenis fungsi pemetakan, setiap satunya bertindak balas dengan jenis kelompok statistik yang berbeza (atau, pelbagai jenis tenaga bebas.) Fungsi pemetakan kanonik digunakan untuk kelompok kanonik, yang sistemnya membenarkan penukaran haba dengan persekitaran pada suhu, isipadu dan bilangan zarah yang tertentu. Fungsi pemetakan kanonik besar digunakan untuk kelompok kanonik besar, yang sistemnya boleh menukar haba dan zarah dengan persekitaran pada suhu, isipadu dan keupayaan kimia yang tertentu. Fungsi pemetakan lain boleh ditakrifkan bagi keadaan yang berbeza.

Fungsi pemetakan kanonik

Takrifan

Katakan kita mempunyai satu sistem termodinamik besar yang mempunyai kemalaran bagi hubungan terma persekitaran, yang bersuh T, dengan kedua-dua isipadu dan bilangan juzuk zarah adalah tetap. Sistem ini dikenali sebagai kelompok kanonik. Mari kita labelkan keadaan sebenar (mikrokeadaan) yang sistem tersebut boleh diiisi oleh j (j = 1, 2, 3, ...), dan tandakan jumlah tenaga bagi sistem apabla ia dalam mikrokeadaan j sebagai E_j. Secara umumnya, mikrokeadaan ini boleh dikatakan keadaan kuantum bagi sistem.

Fungsi pemetakan kanonik adalah

$Z=\sum _{j}e^{-\beta E_{j}}$

iaitu "sonsangan suhu" β ditakrifkan sebagai

$\beta \equiv {\frac {1}{k_{B}T}}$

dengan k_B merupakan pemalar Boltzmann. Kadang-kala, degenerat keadaan juga digunakan dan fungsi pemetakan menjadi

$Z=\sum _{j}g_{j}\cdot e^{-\beta E_{j}}$,

iaitu $g_{j}$ merupakan faktor degenerat.

Dalam mekanik statistik klasik, tidaklah betul untuk menyatakan fungsi pemetakan sebagai jumlah bagi istilah diskrit seperti apa yang kita lakukan. Dalam mekanik klasik, pemboleh ubah kedudukan dan momentum bagi sesuatu zarah boleh berubah secara selanjar, maka set mikrokeadaan sebenarnya tidak terhitung. Dalam kes ini, beberapa bentuk langkah-langkah bintik kasar harus dijalankan, yang bertindak kepada dua keadaan mekanik sebagai mikrokeadaan yang sama jika perbezaan dalam pembolehubah kedudukan dan momentum mereka "tidak terlalu besar". Fungsi pemetakan boleh mengambil bentuk kamiran. Sebagai contoh, fungsi pemetakan bagi satu gas yang mempunyai N zarah klasik adalah

$Z={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int \,\exp[-\beta H(p_{1}\cdots p_{N},x_{1}\cdots x_{N})]\;\mathrm {d} ^{3}p_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}p_{N}\,\mathrm {d} ^{3}x_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}x_{N}$

iaitu h adalah kuantiti yang sangat kecil (lazimnya diambil sebagai pemalar Planck, untuk sama-sama digunakan dengan mekanik kuantum, dan H adalah Hamiltonian. Sebab bagi faktor N! dibincang bawah. Untuk memudahkan, kita akan menggunakan bentuk diskrit bagi fungsi pemetakan dalam rencana ini tetapi keputusan kita akan juga boleh digunakan bagi bentuk selanjar.

Dalam mekanik kuantum, fungsi pemetakan boleh ditulis:

$Z=\operatorname {tr} (e^{-\beta H})$

iaitu H merupakan operator Hamiltonian kuantum. Eksponen bagi operator boleh ditakrif dengan Siri kuasa ekponen.

Makna

Mungkin tidak jelas mengapa fungsi pemetakan, seperti yang ditakrifkan di atas, merupakan kuantiti penting. Mula sekali, mari kita pertimbangkan apa yang melibatkannya. Fungsi pemetakan adalah fungsi bagi suhu T dan tenaga mikrokeadaan E₁, E₂, E₃, dll. Tenaga mikrokeadaan ditentukan oleh pembolehubah termodinamik lain, seperti bilangan zarah dan izipadu, begitu juga kuantiti mikroskopik seperti jisim juzuk zarah. Kebergantungan pembolehubah mikroskopik adalah titik tengah bagi mekanik statistik. Dengan sebuah model juzuk mikroskopik bagi sesuatu sistem, seseorang boleh mengira tenaga mikrokeadaan, dan seterusnya fungsi pemetakan, yang akan membolehkan kita mengira semua ciri termodinamik lain bagi sistem tersebut.

Fungsi pemetakan boleh dikaitkan dengan ciri termodinamik lain kerana ia mempunyai maksud statitik terpenting. Kebarangkalian P_j yang sistem itu akan mengisi mikrokeadaan j adalah

$P_{j}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{j}}.$

ini dikenali sebagai faktor Boltzmann. (Untuk terbitannya, lihat kelompok kanonik.) Fungsi pemetakan memainkan peranan sebagai pemalar penormal (perhatikan yang ia tidak bergantung pada j), memastikan yang semua kebarangkalian ditambah menjadi satu:

$\sum _{j}P_{j}={\frac {1}{Z}}\sum _{j}e^{-\beta E_{j}}={\frac {1}{Z}}Z=1.$

Ini adalah sebab dipanggil Z bagi "fungsi pemetakan": ia memberikan bagaimana kebarangkalian dipetakan bagi mikrokeadaan yang berbesa, bergantung kepada tenaga masing-masing. Huruf Z adalah perkataan bahasa Jerman Zustandssumme yang bermaksud "jumlah keadaan".

Rujukan

• Huang, Kerson, "Statistical Mechanics", John Wiley & Sons, New York, 1967.
• A. Isihara, "Statistical Physics", Academic Press, New York, 1971.
• Kelly, James J, (Lecture notes)
• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, "Statistical Physics, 3rd Edition Part 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996.