Perímetres rectangulars

Imaginem-nos que tenim un paral.lelepípede (o sigui, un tetrabrick). Podem calcular-ne el que en podríem dir perímetres rectangulars, o sigui, el perímetre format per cadascuna de les seves cares (o el tros de corda que ens caldria per lligar-lo si fos una caixa i volguéssim embolicar-lo).

Per exemple, si el paral.lelepípede té costats d'1, 2 i 3 cm, els tres diferents perímetres rectangulars serien:

• 2*1+2*2=6
  
• 2*1+2*3=8
  
• 2*2+2*3=10
  

Si ara agafem un paral.lelepípede més gran, de costats 1, 3 i 3, els perímetres quadrats serien:

• 2*1+2*3=8
  
• 2*1+2*3=8
  
• 2*3+2*3=12
  

que són més grans que els de l'anterior.

Ara anem a fer el mateix, però al revés. Tenim dos paral.lelepípedes diferents. Els seus corresponents perímetres rectangulars són:

• P1: 12, 16 i 20.
  
• P2: 12, 16 i 24.
  

Quin dels dos paral.lelepípedes tindrà un volum més gran, el P1 o el P2?

La intuïció diu que P1 ha de tenir un volum més petit que P2. Però si faig la pregunta... seran iguals? Serà més gran el volum de P1?

Anem-ho a veure.

P1 té costats x1, x2 i x3. Degut als perímetres rectangulars, ha de complir les equacions següents:
2*x1+2*x2 = 12
2*x1+2*x3 = 16
2*x2+2*x3 = 20

El sistema té solució única, x1=2, x2=4 i x3=6. Per tant, el seu volum és 48.

Fent el mateix per P2, obtenim que els seus costats han de ser 1, 5 i 7. I, per tant, el volum és 35.

Així doncs, tot i que sembli estrany, P1 té més volum que P2.

Dinou

En honor a la Laia, que em va enviar la foto d'aquests escacs de papiroflèxia, fets per ella (quina feinada!)



i que li va agradar el post el número trenta-u...

• 19 és el |1-9| número primer.
  
• 19.19, és clar! :-D
  
  
• 19 = 1*9 + 1+9
  
• 19+18+17+...+3+2+1=190.
  
• 19 és el nombre primer més petit que és suma de tres primers diferents: 3 + 5 + 11.
  
• La suma dels dígits de 19 és 10. La suma dels dígits de 19^2=361, també és 10.
  
• A més, 3*6+1 = 19.
  
• 19 és un primer invertible: 61 també és primer.
  
• 2^1 + 3^2 + 5^3 + 7^4 + 11^5 + 13^6 + 17^7 + 19^8 és un nombre primer.
  
• 19^0 + 19^1 + ... + 19^18 és primer.
  
• El nombre 1000000000000000009 (1- 17 zeros - 9) és un nombre primer (que té 19 xifres, i 17 (primer germà del 19) zeros
  
• 19 = 4! - 3! + 2! - 1!
  
• Aquesta dedicada especialment a la Laia (encara que sigui biòloga, no química!): 19 és el nombre més petit de neutrons pel que no hi ha un isòtop estable.
  
• Aquesta és bona per mi :-) En un final d'escacs, on s'ha de fer mat amb dos àlfils (de diferent color, és clar), com a màxim, es necessiten 19 moviments per fer el mat, sigui quina sigui la posició inicial de les peces.
  

3=0?

Comencem amb una pregunta senzilla: donada l'equació x^2+x+1=0, si x és una solució d'aquesta equació, quan val x^3?

És clar, és clar. És una equació de segon grau, es pot resoldre. Surten complexos. S'eleva el complex al cub i...

No hi ha cap manera de resoldre el problema d'una forma més senzilla o que comporti menys càlculs?

I si multipliquem l'equació del principi per x?

x^3+x^2+x=0.

I ara es pot sumar 1 a les dues bandes de l'equació:

x^3+x^2+x+1=1.

Però... si x és una solució, x^2+x+1=0, i per tant:

x^3 = 1.

Ja està. Problema resolt. I sense fer gairebé càlculs.

Però... si x^3=1, aleshores, x=1.

Substituint a l'equació del principi, 1+1+1=0. O sigui 3=0.

On és l'error? :-D

A quina velocitat van els regionals Renfe?

L'últim cop que vaig anar a Barcelona, el tren va trigar 1 hora i 50 minuts a fer el trajecte entre Girona i Sants (...) Com que això no té nom, vaig decidir que intentaria mirar a quina velocitat van els regionals Renfe...

I me n'he dut una bona sorpresa...

A l'anada anava amb un Catalunya, però no estava al costat de la finestra i el gps no trobava els satèl.lits.

A la tornada anava amb un delta i he pensat: Ui...

Al final, però, m'ha sorprès.

Velocitat màxima: 140 Km/h (aquests trastos poden córrer tant? I un Catalunya, quant corre?)

Velocitat mitjana: 69.2 Km/h (he de dir que, és clar, només és el tros que va de Sant Andreu a Girona, i per tant, trec el tros de Barcelona, on para molt, i que fa baixar la mitjana).

Velocitat mitjana en moviment (o sigui, descomptant el temps que para a les estacions): 80.1 Km/h (algú s'esperava que un delta corrés tant?)

Temps parat a les estacions (descomptant les de Barcelona ciutat): 10 minuts i 56 segons.

Em pensava que seria pitjor...

Com és l'òrbita de la Lluna?

Abans de mirar la solució: si demano a algú com és l'òrbita de la Lluna al voltant del Sol (he dit del Sol, no de la Terra!), com us pensareu que és?

Així?



Potser així?



O potser així?



O d'alguna altra manera?

La solució, aquí.

Reflexió, refracció i optimització

Mirant uns problemes d'optimització, avui m'he trobat una cosa curiosa, que relaciona la reflexió i la refracció de la llum amb problemes d'optimització.

Imaginem-nos, com al dibuix-esquema mal fet que he fet fa una estona (perdoneu l'ombra, és el meu braç aixecat aguantant la càmera...), la llum vol anar d'A a B, però rebotant en el mirall que hi ha a la línia inferior. La llum pot rebotar on vulgui, i pot sortir amb l'angle que vulgui, però ha de complir una condició: ha d'estar el mínim temps possible a viatjar d'A a B.

I, com que la velocitat de la llum és constant, es tracta de minimitzar la distància entre A i B.

No és difícil de veure (els quatre calculets que hi ha al full), que la derivada d'aquesta distància és cos(alpha) - cos(beta), que s'anul.la quan els dos angles són iguals. O sigui, quan la llum es reflecteix en el mirall! També es comprova fàcilment, mirant el signe de la derivada, que aquest punt és realment un mínim.

Així doncs, la reflexió de la llum, a part de complir determinades lleis físiques, també compleix que és la que fa mínim el temps que transcorre un feix de llum que surt d'una posició, rebota al mirall i arriba a una segona posició.



Molt bé, això era la reflexió. Però... què passa amb la refracció?

Doncs amb la refracció passa exactament el mateix! En aquest cas, la llum vol viatjar des d'un punt que està fora de l'aigua a un punt que està sota aigua. I vol fer-ho en el mínim temps possible. Ara no s'ha de minimitzar la distància, sinó el temps, i per això hi entren en joc les velocitats de la llum a l'aigua i a l'aire. I què passa?

Doncs que, de tots els punts on la llum podria passar de l'aire a l'aigua, amb l'angle que volgués, el que minimitza el temps que triga la llum a arribar d'un punt a l'altre és precisament l'angle amb el que es refracta la llum!



Si és que la llum és molt espavilada i ja la sabia, la forma d'anar el més ràpid possible d'un lloc a un altre! :-D

Harry Potter i els escacs

Em sap greu, però el fragment del youtube és en anglès.



El llibre també el tinc en anglès (i es troba el fragment a internet en anglès...). En Harry, en Ron i l'Hermione estan buscant la pedra filosofal i...

The next chamber was so dark they couldn't see anything at all. But as they stepped into it, light suddenly flooded the room to reveal an astonishing sight.

They were standing on the edge of a huge chessboard, behind the black chessmen, which were all taller than they were and carved from what looked like black stone. Facing them, way across the chamber, were the white pieces. Harry, Ron and Hermione shivered slightly -- the towering white chessmen had no faces.

"Now what do we do?" Harry whispered.

"It's obvious, isn't it?" said Ron. "We've got to play our way across the room."

Behind the white pieces they could see another door.

"How?" said Hermione nervously.

"I think," said Ron, "we're going to have to be chessmen."

He walked up to a black knight and put his hand out to touch the knight's horse. At once, the stone sprang to life. The horse pawed the ground and the knight turned his helmeted head to look down at Ron.

"Do we -- er -- have to join you to get across?" The black knight nodded. Ron turned to the other two.

"This needs thinking about..." he said. "I suppose we've got to take the place of three of the black pieces...."

Harry and Hermione stayed quiet, watching Ron think. Finally he said, "Now, don't be offended or anything, but neither of you are that good at chess --"

"We're not offended," said Harry quickly. "Just tell us what to do."

"Well, Harry, you take the place of that bishop, and Hermione, you go next to him instead of that castle."

"What about you?"

"I'm going to be a knight," said Ron.

The chessmen seemed to have been listening, because at these words a knight, a bishop, and a castle turned their backs on the white pieces and walked off the board, leaving three empty squares that Harry, Ron, and Hermione took.

"White always plays first in chess," said Ron, peering across the board. "Yes... look..."

A white pawn had moved forward two squares.

Ron started to direct the black pieces. They moved silently wherever he sent them. Harry's knees were trembling. What if they lost?

"Harry -- move diagonally four squares to the right."

Their first real shock came when their other knight was taken. The white queen smashed him to the floor and dragged him off the board, where he lay quite still, facedown.

"Had to let that happen," said Ron, looking shaken.

"Leaves you free to take that bishop, Hermione, go on."

Every time one of their men was lost, the white pieces showed no mercy. Soon there was a huddle of limp black players slumped along the wall. Twice, Ron only just noticed in time that Harry and Hermione were in danger. He himself darted around the board, taking almost as many white pieces as they had lost black ones.

"We're nearly there," he muttered suddenly. "Let me think -- let me think..."

The white queen turned her blank face toward him.

"Yes..." said Ron softly, "It's the only way... I've got to be taken."

"NO!" Harry and Hermione shouted.

"That's chess!" snapped Ron. "You've got to make some sacrifices! I take one step forward and she'll take me -- that leaves you free to checkmate the king, Harry!"

"But --"

"Do you want to stop Snape or not?"

"Ron --"

"Look, if you don't hurry up, he'll already have the Stone!".

There was no alternative.

"Ready?" Ron called, his face pale but determined. "Here I go - now, don't hang around once you've won."

He stepped forward, and the white queen pounced. She struck Ron hard across the head with her stone arm, and he crashed to the floor - Hermione screamed but stayed on her square - the white queen dragged Ron to one side. He looked as if he'd been knocked out.

Shaking, Harry moved three spaces to the left.

The white king took off his crown and threw it at Harry's feet. They had won. The chessmen parted and bowed, leaving the door ahead clear. With one last desperate look back at Ron, Harry and Hermione charged through the door and up the next passageway.

"What if he's --?"

"He'll be all right," said Harry, trying to convince himself. "What do you reckon's next?"

Està clar que aquí no surt la posició. Però, per fer la pel.lícula, es necessitava una posició clara on l'àlfil negre fes mat, gràcies a un sacrifici del cavall negre. Sinó, no tenia sentit.

Però, és clar, és difícil de trobar una posició d'aquest estil, i s'ha de fer una composició. Una composició amb moltes restriccions.

La creació de la posició la van deixar a en Jeremy Silman, un MI d'Estats Units.

La posició és la següent:



El negre amenaça Ch3 mat, i el blanc juga Dxd3, defensant-se del mat. Després d'això, el negre té un mat forçat amb 1. ... Tc3 2. Dxc3, i ara hi ha dos mats possibles: 2. ... Ac5+ 3. Dxc5 Ch3 mat, o 2. ... Ch3+ 3. Dxh3 Ac5+ 4. De3 Axe3 mat.

Però, és clar, qui ha de seguir per les habitacions és en Harry, i per tant l'opció de 2. ... Ac5+ no és bona. Així doncs, en Ron s'ha de sacrificar perquè en Harry pugui fer mat.

Tot i així, després de que en Jeremy Silman donés aquesta posició, les exigències del guió van fer que la partida s'escurcés. A més, no van incloure en Jeremy Silman als crèdits. Suposo que té raó a estar enfadat...

La seva explicació, així com unes quantes reflexions sobre les partides d'escacs al cine (molt bones), així com la posició jugada a jugada, es poden trobar aquí.

I gràcies a l'administrador d'escaquejant per l'enllaç.

L'efecte de l'edat relativa

Anem a veure els mesos en què van néixer els jugadors del Barça. És una dada que es pot trobar fàcilment a la web del club.

Gener: Valdés, Xavi
Febrer: Márquez, Gio, Oleguer
Març: Jorquera, Ronaldinho, Eto'o
Abril: Puyol, Sylvinho
Maig: Iniesta
Juny: Ruben, Belletti, Messi
Juliol: Edmilson, Giuly
Agost:
Setembre: Deco
Octubre:
Novembre:
Desembre: Ezquerro, Saviola

Ja sé que és una mostra molt petita, però ningú hi veu res estrany? Alguna cosa com que la majoria de jugadors van néixer a la primera part de l'any?

Imaginem-nos dos nens pràcticament iguals, només que es porten 1 dia de diferència: un és nascut el 31 de desembre i l'altre l'1 de gener. Els dos nens s'apunten a practicar un esport majoritari, com per exemple el futbol. Com que les categories van per any natural, un dels nens anirà a un equip, i l'altre anirà a un altre.

El nen nascut l'1 de gener serà el més gran de tot l'equip, i pot portar-se gairebé un any amb el nen més petit de l'equip. El nen nascut el 31 de desembre, es trobarà que és el nen més petit, i fins i tot es pot portar un any amb el nen més gran de l'equip.

Imaginem-nos que els dos nens tenen un nivell similar, i que és un nivell mitjà-alt. El nen de l'1 de gener, al ser més gran que tots els seus companys, ho tindrà molt millor per ser el líder de l'equip. Amb el mateix nivell de joc, en canvi, el nen del 31 de desembre probablement sigui un dels pitjors jugadors de l'equip, ja que si els nens són petits, un any de diferència es nota moltíssim.

Aquests dos nens creixeran futbolísticament d'una forma completament diferent: el nen nascut l'1 de gener s'haurà acostumat a ser el líder des de petit, mentre que el nascut el 31 de desembre s'haurà acostumat a ser un jugador més. Quan els nens es facin grans, les diferències d'edat desapareixeran, però un ja serà un líder i l'altre serà un més. El del 31 de desembre també es podrà convertir en un líder, però el camí per fer-ho ja és més difícil que en el cas de l'altre nen.

Això és el que explica l'efecte de l'edat relativa, que diu que en els esportistes d'èlit, una majoria significativa són nascuts al primer quadrimestre de l'any, mentre que els nascuts en l'últim quadrimestre són pocs.

En aquest sentit he trobat un estudi bastant complet sobre el que li passa al bàsquet.

Posant "relative age effect" es troben un munt d'estudis sobre el tema. Hi ha estudis sobre gimnastes, futbolistes o fins i tot com afecta la diferència de gèneres a l'edat relativa.

Ara entenc per què algunes no ens hem convertit en esportistes d'èlit :-)

Triangles i rectes

Comencem amb un problema que sembla senzill.

Quants triangles que no es superposin es poden construir amb n rectes?

Està clar que amb 1 o 2 rectes no es pot construir cap triangle. I que amb 3 rectes se'n pot construir només 1. Amb 4 rectes se'n poden construir 2. Amb 5 rectes, 5. Però a partir d'aquí... a partir d'aquí la cosa es complica i és bastant embolicat de trobar el número de triangles que hi ha.

Pels casos amb poques rectes, els dibuixos són més o menys fàcils de trobar:



En el cas de 15 rectes, ens trobem amb aquesta bonica imatge:



que, per cert, sembla bastant difícil de fer "a mà". En el dibuix hi ha 65 triangles, per si algú ho vol comprovar.

Segons sembla, hi ha una cota superior pel màxim nombre de triangles per a cada número de rectes, que en alguns casos no s'ha demostrat que s'arribi a assolir. Aquest màxim és la part entera de n(n-2)/3.

El problema s'anomena problema dels triangles de Kobon, però no he aconseguit trobar el perquè. Segons sembla, el Kobon és un llenguatge que es parla a Papua Nova Guinea, però no hi trobo la relació.

Més informació aquí o aquí.

Punts cardinals amb el rellotge

De tots és sabut que durant la nit et pots orientar fàcilment mitjançant l'estrella polar, que assenyala el nord. Però, i de dia?

He trobat una cosa si més no curiosa, tot i que no massa exacta, per trobar els punts cardinals de dia. Per fer-ho, es necessita un rellotge analògic (de broques, dels de tota la vida) i que es vegi el Sol. I que s'estigui a Catalunya, o a algun altre lloc amb una latitud semblant, o com a mínim, a l'hemisferi nord (per latituds similars a l'hemisferi sud no seria massa diferent).

El que s'ha de fer és posar el rellotge pla, paral.lel al terra (es pot posar mirant cap amunt, no cal fer equilibris), i fer que la broca petita, la que assenyala les hores, apunti cap a la direcció on està el Sol. Aleshores el sud es troba en la direcció de la bisectriu de l'angle que formen la broca petita (la que assenyala les hores i que està apuntant al sol) i la recta que va del centre del rellotge al número 12 del rellotge.

No és massa exacte, no. Però com a mínim dóna una aproximació d'on és el sud. I a falta d'una brúixola...

Calendari

Com cada any, vinc amb la proposta del calendari de sobretaula. El calendari en qüestió és un dodecaedre regular, i per tant les seves cares van molt bé per fer un calendari.

Com sempre, el calendari es pot trobar aquí. I, a més, tenen el detall de fer-lo en català.

I si algú construeix el calendari (algú ho ha fet mai, a part de mi?) i té ganes de continuar fent treballs manuals, aquí pot trobar com contruir un icosaedre.

Centered cube numbers

Fa unes setmanes vaig posar com a problema de la setmana una successió basada en els centered cube numbers. A cada terme es tractava de sumar dos números consecutius elevats al cub:

0^3+1^3 = 1
1^3+2^3 = 9
2^3+3^3 = 35

i així anar fent.

Aquesta setmana, però, R. Vicens m'ha donat una solució, que seguia la mateixa successió, però que no consistia (explícitament) a sumar els cubs de dos números consecutius:

He trobat una solució que no és la suma de 2 cubs consecutius, cada terme és el resultat d'un producte AxB, on A és la successió de nombres imparells i B és la suma de la B anterior (Bo=1) + (2 cops el núm. d'ordre del terme que busquem) -2

T=AxB
1. 1=1x1 (Bo=1)
2. 9=3x3 (B=1+2+2-2)
3. 35=5x7 (B=3+3+3-2)
4. 91=7x13 (B=7+4+4-2)
5. 189=9x21 (B=13+5+5-2)
6. 341=11x31 (B=21+6+6-2)
7. 559=13x43 (B=31+7+7-2)
8. 855=15x57 (B=43+8+8-2)
13/12/06 23:24

Les dues successions són exactament la mateixa. Segons aquesta segona expressió de la solució, la successió hauria de ser:

(2*n-1)*a_n

On a_n segueix la recurrència: a_n = a_(n-1) + 2*(n-1).

Si es resol aquesta recurrència, s'arriba a que el terme general és:

a_n = n^2-n+1

I aleshores, si es fa la multiplicació (2n-1)*(n^2-n+1) dóna 2n^3-3n^2+3n-1 = n^3+(n-1)^3.

Com a curiositat, dir que el polinomi n^2-n+1 no té arrels reals, però les arrels complexes són (1-arrel(3)i)/2 i (1+arrel(3)i)/2, que són precisament les dues arrels cúbiques de -1 no reals (cosa curiosa, ja que els números s'obtenien amb la suma de nombres al cub).

Si fem córrer els índexos de forma que la successió sigui n^3+(n+1)^3, aleshores el producte és (2n+1)*(n^2+n+1). Altre cop, si descomposem el segon polinomi, ens dóna com a arrels: (-1-arrel(3)i)/2 i (-1+arrel(3)i)/2, que en aquest cas no són les arrels cúbiques no reals de -1, sinó que són les arrels cúbiques no reals de 1.

M'ha semblat curiós. No sé si hi haurà més propietats amagades. A la wikipedia hi posa que tenen aplicacions modelant la forma exterior dels àtoms (o alguna cosa similar). Però no he sabut trobar exactament on es fan servir.

La llei de Benford

Imagina que tens poca feina. Molt poca feina. I que un diumenge qualsevol llegeixes un diari d'una punta a l'altra i vas anotant en un paper tots els números que surten (el resultat dels partits, les hores de la cartellera de cine, la gent que va anar a no sé on, ... tots els números). Un cop tens tots els números ben anotats, els separes en 9 columnes: una amb els números que comencen en 1, una altra amb els que comencen en 2, i així fins a una columna pels números que comencen per 9.

Creus que totes les columnes tindran el mateix número de números? Alguna columna serà més nombrosa que les demés?

Un cop has fet això, agafes un atles i busques la llargada de tots els rius que trobis. Quina columna és més nombrosa? Són totes iguals? I si ho fas amb l'alçada de muntanyes? O amb la població dels pobles de Catalunya? O amb qualsevol altra cosa que se't pugui ocórrer?

En principi, el sentit comú ens diria que totes les columnes tindrien aproximadament un 11.11% dels números. Però segons la llei de Benford això no és així. Els números que comencen amb 1 són aproximadament un 30%, els que comencen amb 2 són aproximadament un 17%, els que comencen amb 4, un 12%. El percentatge es va reduint mentre augmenta la xifra per la que comença el número, fins a arribar al 9, que té menys d'un 5% dels números.

A l'enllaç que he posat abans hi ha una demostració del fenomen, utilitzant models estadístics. Si més no, és curiós.

3816547290

Avui he descobert un blog molt interessant, el blog d'en Markelo. Un dels temes que més m'han agradat ha sigut el de números extraordinaris. Segur que hi torno. M'han agradat especialment les explicacions sobre els números 153 i 6174. Segur que hi torno. I segur que em poso a mirar les raons per les que aquests números són extraordinaris. Però avui, per començar, parlaré d'un altre número (també tret d'aquesta pàgina), el 3816547290.

Què té d'especial aquest nombre? Molt fàcil:

- És un número pandigital (la parauleta vol dir que conté tots els dígits).
- 3 és divisible per 1.
- 38 és divisible per 2.
- 381 és divisible per 3.
- 3816 és divisible per 4.
- 38165 és divisible per 5.
- 381654 és divisible per 6.
- 3816547 és divisible per 7.
- 38165472 és divisible per 8.
- 381654729 és divisible per 9.
- 3816547290 és divisible per 10.
- És l'únic número que compleix aquestes condicions.

Que les compeleix està clar. Anem a veure que realment és l'únic:

- Com que el nombre complet ha de ser divisible per 10, l'últim dígit del número ha de ser un 0: el número serà *********0.

- Com que el número format per les dues primeres xifres ha de ser divisible per 2, el segon dígit ha de ser parell. Com que el número format per les 4 primeres xifres ha de ser divisible per 4, el quart dígit ha de ser parell. De la mateixa forma, el 6è i 8è dígits han de ser parells. L'últim dígit és un 0. Per tant, només queden 4 dígits parells. Així doncs, a les posicions parells hi haurà números parells (p) i a les senars, números senars (s): el número serà spspspsps0.

- Com que el número format amb les 5 primeres xifres ha de ser divisible per 5, la cinquena xifra ha de ser un 5 (el 0 ja està posat, i sabem que ha de ser senar): El número ha de ser spsp5psps0.

- La primera xifra sempre serà divisible per 1, sigui quina sigui. Per tant, no ens preocupem més d'aquesta condició.

- El nombre format per les 9 primeres xifres serà divisible per 9, ja que 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 = 9*5. Per tant, tampoc ens preocupem per aquesta condició.

- Les 3 primeres xifres han de sumar un múltiple de 3.
Les 6 primeres xifres han de sumar un múltiple de 3. Això vol dir que les xifres que estan en les posicions 4, 5 i 6 han de sumar un múltiple de 3.
Les 9 primeres xifres sumen un múltiple de 3. Per tant, les xifres en les posicions 7, 8 i 9 també han de sumar un múltiple de 3.

- Donat que a la posició 5 hi ha d'haver un 5 i que a les posicions 4 i 6 hi ha d'haver números parells, i les 3 han de sumar un múltiple de 3, tenim les següents possibilitats:
- 258
- 456
- 654
- 852

- De la mateixa forma, les 3 primeres i les 3 últimes xifres han de ser un d'aquests números:
(la primera xifra ha de ser senar, la segona xifra ha de ser parell, i la tercera, senar; les 3 xifres han de sumar un múltiple de 3; no hi poden haver xifres repetides; no hi pot haver ni 0 ni 5).
- 123
- 129
- 147
- 183
- 189
- 321
- 327
- 369
- 381
- 387
- 723
- 729
- 741
- 783
- 789
- 921
- 927
- 963
- 981
- 987

- I ara s'han de combinar aquests números. S'han d'escollir dos blocs d'aquests últims pel primer i el tercer i un bloc dels anteriors pel segon. No hi ha d'haver cap número repetit i s'han de complir les condicions que encara falten per complir-se:
- Les 4 primeres xifres han de ser un múltiple de 4 (cond1).
- Les 8 primeres xifres han de ser un múltiple de 8 (cond2).
- Les 7 primeres xifres han de ser un múltiple de 7 (cond3).

- Segon bloc: 258. Els altres dos blocs només poden ser: 147, 369, 741 i 963.
Possibilitats:
- 147 258 369: No es compleix la cond2.
- 147 258 963: No es compleix la cond3.
- 369 258 147: No es compleix la cond2.
- 369 258 741: No es compleix la cond2.
- 741 258 369: No es compleix la cond2.
- 741 258 963: No es compleix la cond3.
- 963 258 147: No es compleix la cond2.
- 963 258 741: No es compleix la cond2.

- Segon bloc: 852. Els altres blocs només poden ser 147, 369, 741 i 963. Amb cap d'aquests blocs com a primer bloc es compleix la cond1, ja que ni 78, ni 98, ni 18, ni 38 són divisibles per 4. Així que aquest bloc també el podem el.liminar.

- Segon bloc: 456. Els altres blocs poden ser: 123, 129, 183, 189, 321, 327, 381, 387, 723, 729, 783, 789, 921, 927, 981, 987.
Perquè les 4 primeres xifres siguin múltiples de 4, el primer bloc ha d'acabar en un nombre parell. I això és impossible. Així que ja hem descartat aquest bloc.

- El número serà de la forma: sps654sps0. Amb això, queda garantida la cond1.

- Perquè es compleixi la cond2, el tercer bloc només pot ser: 321, 327, 723, 729. Així doncs, les possibilitats (a les que només cal comprovar que el número format amb les 7 primeres xifres sigui múltiple de 7) són:
- 789 654 321
- 987 654 321
- 189 654 327
- 981 654 327
- 189 654 723
- 981 654 723
- 183 654 729
- 381 654 729

D'aquests, només l'últim compleix la condició.

Per tant, l'únic número que compleix TOTES les condicions és el 3816547290. Al final, la demostració que era únic m'ha sortit massa llarga. Si algú té alguna idea per una demostració més curta, serà benvinguda.

Els números

Una curiositat sobre els números. Aquí hi ha escrits els números que utilitzem nosaltres tal com eren en els seus inicis:



La pregunta és: què tenen a veure els números amb el que representen? Per què aquesta era una bona forma de representar els números?

La resposta, com a comentari.

Beure te pot millorar la memòria

Segons un estudi de la universitat de Newcastle, beure te pot ajudar a millorar la memòria d'aquella gent que, com jo, en té poca :-)

L'estudi va estar fet amb te verd, te negre i cafè. Segons sembla, tant el te verd com el te negre inhibeixen l'activitat d'enzimes relacionats amb l'Alzheimer, mentre que el cafè no té cap efecte beneficiós en aquest sentit.

Així que, tots a canviar el cafè pel te!

He tret la notícia d'aquí, així que si voleu més informació, només heu de clicar a l'enllaç.