Mončio Holo uždavinys

Mončio Holo uždavinys (angl. Monty Hall problem) – tikimybių teorijos uždavinys, paremtas amerikiečių televizijos laida Let's make a deal. Uždavinys pavadintas laidos vedėjo Mončio Holo vardu. Uždavinys taip pat kartais vadinamas yra Mončio Holo paradoksu, kadangi uždavinio išvada kai kuriems žmonėms atrodo absurdiška, nepaisant to, kad jos teisingumą galima įrodyti matematiškai.

Paradoksas

Už vienerių durų slepiasi mašina, o už kitų dvejų - ožkos. Pirmasis duris atveria vedėjas ir už jo pasirinktų durų būtinai yra ožka.

Tarkime, kad jūs esate žaidime, kuriame turite pasirinkti vienerias iš trejų durų. Už vienerių durų yra automobilis (pagrindinis prizas), o už kitų dvejų durų - ožkos (paguodos prizai). Mašina ir ožkos yra atsitiktinai sudėliojamos už durų prieš prasidedant laidai. Žaidimo taisyklės yra tokios: jums pasirinkus vienerias duris, tos durys lieka uždarytos. Žaidimo vedėjas Montis Holas, kuris žino, kas yra už kiekvienų durų, dabar turi atverti vienerias iš jūsų nepasirinktų durų. Jis privalo atverti duris, už kurių slėptųsi ožka. Jei jūs pasirinkote duris, už kurių yra automobilis, vedėjas atveria bet kurias iš dvejų durų, kadangi už jų abejų slepiasi ožkos. Atvėręs duris vedėjas jūsų paklausia, ar norėsite pasilikti su savo pirmuoju pasirinkimu, ar norėsite jį pakeisti ir atverti kitas duris. Pavyzdžiui, įsivaizduokite, kad pasirenkate pirmąsias duris ir po to vedėjas atveria trečiąsias duris, už kurių yra ožka. Tada vedėjas jūsų paklausia „Ar norite pakeisti savo pasirinkimą ir atverti antrąsias duris?“. Ar jums apsimoka priimti šį vedėjo pasiūlymą?

Sprendimai

Kadangi žaidėjas niekaip negali žinoti, už kurių durų slepiasi automobilis, daugelis žmonių intuityviai galvoja, kad abejos durys turi tokią pačią galimybę būti laimingomis ir todėl yra nesvarbu, ar žaidėjas pakeis savo pasirinkimą, ar ne. Vis dėlto, iš tikrųjų pakeisdamas savo pasirinkimą, žaidėjas padvigubina laimėjimo tikimybę nuo 1/3 iki 2/3. Yra keli būdai tą įrodyti. Vienas iš populiariausių sprendimų gali būti pavaizduotas tokia schema:

1. Vedėjas atveria duris, už kurių yra viena iš dvejų ožkų Žaidėjas pasirenka duris, už kurių yra mašina (įvykio tikimybė yra 1/3) Durų pakeitimas pralaimi. 2. Vedėjas turi atverti duris, už kurių yra ožka B Žaidėjas pasirenka duris, už kurių yra ožka A (įvykio tikimybė yra 1/3) Durų pakeitimas laimi. 3. Vedėjas turi atverti duris, už kurių yra ožka A Žaidėjas pasirenka duris, už kurių yra ožka B. (įvykio tikimybė yra 1/3) Durų pakeitimas laimi.

Žaidėjas iš pradžių turi lygias galimybes pasirinkti duris, už kurių yra mašina, ožka A ir ožka B, tad visi trys parodyti variantai yra vienodai tikėtini. Iš schemos galima matyti, kad pakeitus durų pasirinkimą laimima dviem atvejais iš trijų, o nepasikeitus - tik vienu, todėl pakeitus sprendimą galimybė laimėti yra 2/3, o nepakeitus - 1/3.

Kitas sprendimo būdas

Kitas būdas suprasti sprendimą yra galvoti apie dvejas duris, kurių žaidėjas iš pradžių nepasirinko, kaip apie vieną objektą. Iš pradžių, tikimybė, kad už vienerių iš šių dvejų durų slepiasi automobilis yra 2/3. Vedėjui atvėrus vienas iš šių durų, ši tikimybė nesumažėja, kadangi vedėjas turi būtinai atverti nelaimingas duris.

Tikimybė, kad už žaidėjo pasirinktų durų slepiasi automobilis yra 1/3 o kad jis yra už vienos iš kitų dvejų durų - 2/3.

Tikimybė, kad pradinis žaidėjo pasirinkimas laimės tebėra 1/3. Skirtumas tik tas, kad tikimybė, kad už vedėjo atidarytų durų yra automobilis po jų atidarymo tampa lygi nuliui. Taigi lieka 2/3 tikimybė, kad automobilis yra už neatidarytų ir žaidėjo nepasirinktų durų.