Holomorfinė funkcija

Stačiakampė koordinačių sistema (viršuje) po konforminės transformacijos f (apačioje).

Holomorfinė funkcija matematikoje apibrėžia tokią kompleksinio argumento funkciją, kuri yra kompleksiškai diferencijuojama kiekviename argumento taške (griežčiau, – kiekvieno taško aplinkoje). Diferencijuojamumas kompleksine prasme iš esmės reiškia, kad tai yra glodi funkcija, be galo daug kartų diferencijuojama ir kad ją galima išskleisti Teiloro eilute bet kuriame taške.

Dažnai kaip sinonimas holomorfinei funkcijai naudojamas terminas analizinė funkcija. Tačiau pastarasis iš tiesų tai yra platesnis terminas, nes analizinė funkcija gali būti ir neapibrėžta kompleksinių skaičių aibėje. Arba jis gali būti naudojamas matricų teorijoje, apibrėžiant Teiloro eilute skleidžiamas funkcijas su matriciniais argumentais.

Holomorfinės funkcijos kartais vadinamos reguliariosiomis funkcijomis arba konforminiais atvaizdžiais (atvaizdžiai, nekeičiantys kampų tarp kreivių šeimų).

Terminą holomorfinė pirmą kartą panaudojo du Koši doktorantai, Briot (1817–1882) ir Bouquet (1819–1895). Tai yra junginys dviejų graikų kalbos žodžių ὅλος (holos) reiškiantis „visas, vientisas“ ir μορφή (morphē) reiškiantis „formą, išvaizdą“.

Apibrėžimas

Funkcija $f(z)={\bar {z}}$ nėra kompleksiškai diferencijuojama taške $z=0$, kadangi $f(z)-f(0) \over z-0$ vertė priklauso nuo krypties, kuria artėjama prie nulio. Išilgai realios ašies išvestinė lygi 1, išilgai menamosios ašies −1. Dar kitomis kryptimis gaunamos vėl kitokios vertės.

Turime kompleksinės funkcijos f išvestinę taške z₀:

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

Jei ši riba egzistuoja ir yra vienoda, artėjant prie z₀ iš bet kurios pusės, sakome, kad f yra kompleksiškai diferencijuojama tame taške. Skirtumas tarp realaus ir kompleksinio argumento funkcijos diferencijavimo yra toks. Jei kompleksinė funkcija f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) yra holomorfinė, tuomet u ir v turi dalines išvestines x ir y atžvilgiu bei tenkina Koši-Rymano sąlygas:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{ ir }}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$.

Arba kita formuluotė – taip vadinamoji Virtingerio (Wirtinger) išvestinė f atžvilgiu kompleksiškai jungtinio z yra lygi nuliui:

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,$.