Šis straipsnis - apie matematinę funkciją. Apie rašto elementą žiūrėkite determinatyvas , o apie kalbos dalį - determinatyvas (gramatika) Kvadratinės matricos determinantas – algebrinė suma visų galimų sandaugų, gautų parenkant po vieną dauginamąjį iš kiekvienos matricos eilutės taip, kad dauginamieji priklausytų skirtingiems stulpeliams.[ 1] integriniame ir diferenciniame skaičiavime , geometrijoje, kitose matematikos srityse.
Determinanto
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
d
e
t
(
A
)
=
|
A
|
=
|
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
…
…
…
…
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
=
∑
i
=
1
n
!
(
−
1
)
p
(
i
)
⋅
a
1
k
i
1
a
2
k
i
2
…
a
n
k
i
n
{\displaystyle det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{n!}(-1)^{p(i)}\cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}}\ldots a_{nk_{in}}}
kur
|
A
|
{\displaystyle |A|}
d
e
t
(
A
)
{\displaystyle det(A)}
2×2 matrica
A
=
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
turi determinantą
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
{\displaystyle \det(A)=ad-bc\,}
Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:
{
a
11
x
+
a
12
y
=
c
1
,
a
21
x
+
a
22
y
=
c
2
.
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=c_{1},\\a_{21}x+a_{22}y=c_{2}.\end{cases}}}
Surandamas determinantas:
D
=
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:
x
=
D
x
D
,
{\displaystyle x={\frac {D_{x}}{D}},}
y
=
D
y
D
,
{\displaystyle y={\frac {D_{y}}{D}},}
kur
D
x
=
|
c
1
a
12
c
2
a
22
|
,
{\displaystyle D_{x}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}\\c_{2}&a_{22}\end{vmatrix}},}
D
y
=
|
a
11
c
1
a
21
c
2
|
.
{\displaystyle D_{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}\\a_{21}&c_{2}\end{vmatrix}}.}
Formulės vadinamos Kramerio formulėmis .
Jei D=0, bet
D
x
{\displaystyle D_{x}}
D
y
{\displaystyle D_{y}}
D
=
D
x
=
D
y
=
0
{\displaystyle D=D_{x}=D_{y}=0}
Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:
{
x
+
2
y
=
8
,
3
x
−
y
=
3.
{\displaystyle {\begin{cases}x+2y=8,\\3x-y=3.\end{cases}}}
Sistemos determinantas yra
D
=
|
1
2
3
−
1
|
=
1
⋅
(
−
1
)
−
3
⋅
2
=
−
7
;
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}=1\cdot (-1)-3\cdot 2=-7;}
Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas
D
x
=
|
8
2
3
−
1
|
=
−
8
−
6
=
−
14
;
{\displaystyle D_{x}={\begin{vmatrix}8&2\\3&-1\end{vmatrix}}=-8-6=-14;}
Panašiai randamas
D
y
=
|
1
8
3
3
|
=
3
−
24
=
−
21
;
{\displaystyle D_{y}={\begin{vmatrix}1&8\\3&3\end{vmatrix}}=3-24=-21;}
x
=
D
x
/
D
=
−
14
/
(
−
7
)
=
2
;
{\displaystyle x=D_{x}/D=-14/(-7)=2;}
y
=
D
y
/
D
=
−
21
/
(
−
7
)
=
3.
{\displaystyle y=D_{y}/D=-21/(-7)=3.}
sudedami atimami
d
e
t
A
=
|
A
|
=
|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
|
=
{\displaystyle detA=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=}
=
a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
−
a
13
a
22
a
31
−
a
12
a
21
a
33
−
a
11
a
23
a
32
{\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}
Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.
Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:
{
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
c
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
c
2
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
c
3
{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=c_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=c_{3}\end{cases}}}
sprendinius:
x
1
=
D
1
D
,
{\displaystyle x_{1}={\frac {D_{1}}{D}},}
x
2
=
D
2
D
,
{\displaystyle x_{2}={\frac {D_{2}}{D}},}
x
3
=
D
3
D
,
{\displaystyle x_{3}={\frac {D_{3}}{D}},}
kur
D
1
=
|
c
1
a
12
a
13
c
2
a
22
a
23
c
3
a
32
a
33
|
,
{\displaystyle D_{1}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}&a_{13}\\c_{2}&a_{22}&a_{23}\\c_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},}
D
2
=
|
a
11
c
1
a
13
a
21
c
2
a
23
a
31
c
3
a
33
|
,
{\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}&a_{13}\\a_{21}&c_{2}&a_{23}\\a_{31}&c_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},}
D
3
=
|
a
11
a
12
c
1
a
21
a
22
c
2
a
31
a
32
c
3
|
.
{\displaystyle D_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&c_{1}\\a_{21}&a_{22}&c_{2}\\a_{31}&a_{32}&c_{3}\end{vmatrix}}.}
Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.
Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą
{
2
x
1
−
3
x
2
−
x
3
=
7
,
3
x
1
+
4
x
2
+
6
x
3
=
3
,
−
3
x
1
−
x
2
+
−
3
x
3
=
5.
{\displaystyle {\begin{cases}2x_{1}-3x_{2}-x_{3}=7,\\3x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=3,\\-3x_{1}-x_{2}+-3x_{3}=5.\end{cases}}}
D
=
d
e
t
A
=
|
2
1
−
1
3
4
6
1
0
1
|
=
|
3
1
−
1
−
3
4
6
0
0
1
|
=
(
−
1
)
3
+
3
|
3
1
−
3
4
|
=
15
;
{\displaystyle D=detA={\begin{vmatrix}2&1&-1\\3&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&-1\\-3&4&6\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}3&1\\-3&4\end{vmatrix}}=15;}
Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).
D
1
=
|
0
1
−
1
−
5
4
6
1
0
1
|
=
|
0
0
−
1
−
5
10
6
1
1
1
|
=
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
1
+
3
|
−
5
10
1
1
|
=
15
;
{\displaystyle D_{1}={\begin{vmatrix}0&1&-1\\-5&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\-5&10&6\\1&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-5&10\\1&1\end{vmatrix}}=15;}
Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.
D
2
=
|
2
0
−
1
3
−
5
6
1
1
1
|
=
|
0
0
−
1
15
−
5
6
3
1
1
|
=
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
1
+
3
|
15
−
5
3
1
|
=
−
30
;
{\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}2&0&-1\\3&-5&6\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\15&-5&6\\3&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}15&-5\\3&1\end{vmatrix}}=-30;}
kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.
D
3
=
|
2
1
0
3
4
−
5
1
0
1
|
=
|
2
1
0
8
4
−
5
0
0
1
|
=
(
−
1
)
3
+
3
|
2
1
8
4
|
=
0
;
{\displaystyle D_{3}={\begin{vmatrix}2&1&0\\3&4&-5\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&1&0\\8&4&-5\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}2&1\\8&4\end{vmatrix}}=0;}
kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.
x
1
=
D
1
d
e
t
A
=
15
15
=
1
;
x
2
=
D
2
d
e
t
A
=
−
30
15
=
−
2
;
x
3
=
D
3
d
e
t
A
=
0
15
=
0.
{\displaystyle x_{1}={\frac {D_{1}}{detA}}={\frac {15}{15}}=1;\qquad x_{2}={\frac {D_{2}}{detA}}={\frac {-30}{15}}=-2;\qquad x_{3}={\frac {D_{3}}{detA}}={\frac {0}{15}}=0.}
Determinanto radimas naudojant adjunktą:
d
e
t
A
=
|
1
0
1
0
0
2
−
1
3
1
|
=
2
⋅
(
−
1
)
2
+
3
|
1
0
−
1
3
|
=
−
6
≠
0
;
{\displaystyle detA={\begin{vmatrix}1&0&1\\0&0&2\\-1&3&1\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-6\not =0;}
kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.
A
11
=
(
−
1
)
1
+
1
|
0
2
3
1
|
=
−
6
;
A
12
=
(
−
1
)
1
+
2
|
0
2
−
1
1
|
=
−
2
;
{\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}0&2\\3&1\end{vmatrix}}=-6;\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix}}=-2;}
A
13
=
(
−
1
)
1
+
3
|
0
0
−
1
3
|
=
0
;
A
21
=
(
−
1
)
2
+
1
|
0
1
3
1
|
=
3
;
{\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}0&0\\-1&3\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}0&1\\3&1\end{vmatrix}}=3;}
A
22
=
(
−
1
)
2
+
2
|
1
1
−
1
1
|
=
2
;
A
23
=
(
−
1
)
2
+
3
|
1
0
−
1
3
|
=
−
3
;
{\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}}=2;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-3;}
A
31
=
(
−
1
)
3
+
1
|
0
1
0
2
|
=
0
;
A
32
=
(
−
1
)
3
+
2
|
1
1
0
2
|
=
−
2
;
{\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-2;}
A
33
=
(
−
1
)
3
+
3
|
1
0
0
0
|
=
0
;
{\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}}=0;}
Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:
A
−
1
=
1
d
e
t
A
⋅
|
A
11
A
21
A
31
A
12
A
22
A
32
A
13
A
23
A
33
|
=
1
−
6
⋅
|
−
6
3
0
−
2
2
−
2
0
−
3
0
|
=
|
1
−
1
2
0
1
3
−
1
3
1
3
0
1
2
0
|
.
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{vmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{vmatrix}}={\frac {1}{-6}}\cdot {\begin{vmatrix}-6&3&0\\-2&2&-2\\0&-3&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}.}
{
3
x
1
+
5
x
2
−
2
x
3
=
2
,
x
1
−
3
x
2
+
2
x
3
=
10
,
6
x
1
+
7
x
2
−
3
x
3
=
5
{\displaystyle {\begin{cases}3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=2,\\x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=10,\\6x_{1}+7x_{2}-3x_{3}=5\end{cases}}}
matricų metodu.
A
=
[
3
5
−
2
1
−
3
2
6
7
−
3
]
;
B
=
[
2
10
5
]
;
X
=
[
x
1
x
2
x
3
]
;
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{bmatrix}};\qquad B={\begin{bmatrix}2\\10\\5\end{bmatrix}};\qquad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}};}
X
=
A
−
1
⋅
B
;
A
−
1
=
1
d
e
t
A
⋅
[
A
11
A
21
A
31
A
12
A
22
A
32
A
13
A
23
A
33
]
;
{\displaystyle X=A^{-1}\cdot B;\qquad A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}};}
d
e
t
A
=
|
3
5
−
2
1
−
3
2
6
7
−
3
|
=
|
0
14
−
8
1
−
3
2
0
25
−
15
|
=
(
−
1
)
2
+
1
|
14
−
8
25
−
15
|
=
−
2
⋅
5
|
7
−
4
5
−
3
|
=
10
≠
0
;
{\displaystyle detA={\begin{vmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&14&-8\\1&-3&2\\0&25&-15\end{vmatrix}}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}14&-8\\25&-15\end{vmatrix}}=-2\cdot 5{\begin{vmatrix}7&-4\\5&-3\end{vmatrix}}=10\not =0;}
A
11
=
(
−
1
)
1
+
1
|
−
3
2
7
−
3
|
=
−
5
;
A
21
=
(
−
1
)
2
+
1
|
5
−
2
7
−
3
|
=
1
;
A
31
=
|
5
−
2
−
3
2
|
=
4
;
{\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}-3&2\\7&-3\end{vmatrix}}=-5;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}5&-2\\7&-3\end{vmatrix}}=1;\qquad A_{31}={\begin{vmatrix}5&-2\\-3&2\end{vmatrix}}=4;}
A
12
=
−
|
1
2
6
−
3
|
=
15
;
A
22
=
(
−
1
)
2
+
2
|
3
−
2
6
−
3
|
=
3
;
A
32
=
−
|
3
−
2
1
2
|
=
−
8
;
{\displaystyle A_{12}=-{\begin{vmatrix}1&2\\6&-3\end{vmatrix}}=15;\qquad A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}3&-2\\6&-3\end{vmatrix}}=3;\qquad A_{32}=-{\begin{vmatrix}3&-2\\1&2\end{vmatrix}}=-8;}
A
13
=
|
1
−
3
6
7
|
=
25
;
A
23
=
(
−
1
)
2
+
3
|
3
5
6
7
|
=
9
;
A
33
=
|
3
5
1
−
3
|
=
−
14
;
{\displaystyle A_{13}={\begin{vmatrix}1&-3\\6&7\end{vmatrix}}=25;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}3&5\\6&7\end{vmatrix}}=9;\qquad A_{33}={\begin{vmatrix}3&5\\1&-3\end{vmatrix}}=-14;}
A
−
1
=
1
10
[
−
5
1
4
15
3
−
8
25
9
−
14
]
;
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{bmatrix}};}
X
=
(
x
1
x
2
x
3
)
=
1
10
(
−
5
1
4
15
3
−
8
25
9
−
14
)
⋅
(
2
10
5
)
=
1
10
(
20
20
70
)
=
(
2
2
7
)
;
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\10\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20\\20\\70\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}};}
x
1
=
2
;
{\displaystyle x_{1}=2;}
x
2
=
2
;
{\displaystyle x_{2}=2;}
x
3
=
7.
{\displaystyle x_{3}=7.}
Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:
{
3
x
1
−
2
x
2
+
4
x
3
=
−
8
,
2
x
1
+
7
x
2
−
5
x
3
=
26
,
x
1
−
3
x
2
+
8
x
3
=
−
25.
{\displaystyle {\begin{cases}3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-8,\\2x_{1}+7x_{2}-5x_{3}=26,\\x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25.\end{cases}}}
Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:
A
=
[
1
−
3
8
|
−
25
3
−
2
4
|
−
8
2
7
−
5
|
26
]
=
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\3&-2&4&|-8\\2&7&-5&|26\end{bmatrix}}=}
Šios pertvarkytos išplėstinės matricos
A
{\displaystyle A^{~}}
=
[
1
−
3
8
|
−
25
0
7
−
20
|
67
0
13
−
21
|
76
]
=
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&13&-21&|76\end{bmatrix}}=}
Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:
=
[
1
−
3
8
|
−
25
0
7
−
20
|
67
0
−
1
19
|
−
58
]
=
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=}
Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:
=
[
1
−
3
8
|
−
25
0
0
113
|
−
339
0
−
1
19
|
−
58
]
=
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&0&113&|-339\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=}
Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:
=
[
1
−
3
8
|
−
25
0
−
1
19
|
−
58
0
0
113
|
−
339
]
.
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&-1&19&|-58\\0&0&113&|-339\end{bmatrix}}.}
Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą
{
x
1
−
3
x
2
+
8
x
3
=
−
25
,
−
x
2
+
19
x
3
=
−
58
,
113
x
3
=
−
339.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25,\\-x_{2}+19x_{3}=-58,\\113x_{3}=-339.\end{cases}}}
Iš paskutinės lygties
x
3
=
−
339
113
=
−
3.
{\displaystyle x_{3}={\frac {-339}{113}}=-3.}
Iš antros lygties surandame
x
2
=
58
+
19
x
3
=
58
−
57
=
1.
{\displaystyle x_{2}=58+19x_{3}=58-57=1.}
Iš pirmos lygties randame
x
1
=
−
25
+
3
x
2
−
8
x
3
=
−
25
+
3
+
24
=
2.
{\displaystyle x_{1}=-25+3x_{2}-8x_{3}=-25+3+24=2.}
Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3). Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:
D
=
|
3
1
−
1
2
−
5
1
3
−
4
2
0
1
−
1
1
−
5
3
−
3
|
=
(
−
1
)
3
+
1
⋅
2
⋅
|
1
−
1
2
1
3
−
4
−
5
3
−
3
|
+
(
−
1
)
3
+
3
⋅
1
⋅
|
3
1
2
−
5
1
−
4
1
−
5
−
3
|
+
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}}=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}1&-1&2\\1&3&-4\\-5&3&-3\end{vmatrix}}+(-1)^{3+3}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}3&1&2\\-5&1&-4\\1&-5&-3\end{vmatrix}}+}
+
(
−
1
)
3
+
4
⋅
(
−
1
)
⋅
|
3
1
−
1
−
5
1
3
1
−
5
3
|
=
2
⋅
16
−
40
+
48
=
40.
{\displaystyle +(-1)^{3+4}\cdot (-1)\cdot {\begin{vmatrix}3&1&-1\\-5&1&3\\1&-5&3\end{vmatrix}}=2\cdot 16-40+48=40.}
Ketvirtos eilės determinantui naudojamas Minoras (M) tai yra prieš kiekvieną sudėtį yra išbraukiama eilutė ir kiekvienas stulpelis, kur yra skaičius toje eilutėje, arba atvirkščiai jei pasirenkamas pirma stulpelis.
