칸토어 교점 정리

일반위상수학에서 칸토어 교점 정리(Cantor交點定理, 영어: Cantor’s intersection theorem)는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 열의 교집합은 공집합이 아니라는 정리이다.

정의

위상 공간 $X$ 속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 ${\mathcal {K}}$가 주어졌다고 하자. 칸토어 교점 정리에 따르면, $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing$인 것은 ${\mathcal {K}}\ni \varnothing$인 것과 동치이다.^{:428, Lemma A.2.2}

증명:

${\mathcal {K}}\ni \varnothing$이라면 자명하게 $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing$이다. 반대로 $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing$이라고 하자. 그렇다면, 임의의 $K_{0}\in {\mathcal {K}}$에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라

$\bigcap _{L\in {\mathcal {K}}}^{L\subseteq K_{0}}K=\bigcap _{K,L\in {\mathcal {K}}}^{K\supseteq L\subseteq K_{0}}K=\bigcap _{K\in {\mathcal {K}}}K=\varnothing$

이다. 따라서

$\{K_{0}\setminus L\colon L\in {\mathcal {K}},\;L\subseteq K_{0}\}$

는 $K_{0}$의 열린 덮개이다. 그런데 $K_{0}$는 콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개

$\{K_{0}\setminus L_{1},\dots ,K_{0}\setminus L_{n}\}$

를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여 $\{L_{1},\dots ,L_{n}\}$의 하계

$L\in {\mathcal {K}}$

$L\subseteq L_{1}\cap \cdots \cap L_{n}$

를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여

$L_{1}\cap \cdots \cap L_{n}=\varnothing$

이므로 $L=\varnothing$이다.

특히, $X$ 속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강 열

$K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq \cdots$

은 하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 $X$가 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합이 닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, 집합 $X$ 속의 부분 집합들의 족 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성(영어: finite intersection property)을 만족시킨다고 한다.

• 임의의 유한 부분 집합 $S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}$에 대하여, $S_{1}\cap S_{2}\cap \cdots \cap S_{n}\neq \varnothing$

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 콤팩트 공간이다.
• $X$ 속의 임의의 닫힌집합들의 족 ${\mathcal {S}}$가 유한 교차성을 만족시킨다면, $\textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\neq \varnothing$이다.

이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

차분한 공간

호프만-미슬러브 정리로부터, 칸토어 교점 정리의 차분한 공간 형태를 유도할 수 있다. 차분한 공간 $X$ 속에서, 콤팩트 포화 집합들로 구성된 하향 집합 ${\mathcal {K}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:302, Corollary 2:381, Theorem 2.28}

• $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}$ 역시 콤팩트 포화 집합이다.
• 만약 $U\subseteq X$가 열린집합이며, $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U$라면, $K\subseteq U$인 $K\in {\mathcal {K}}$가 존재한다.
• 만약 $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing$라면, ${\mathcal {K}}\ni \varnothing$이다.

증명:

임의의 $K\in {\mathcal {K}}$의 열린 근방 필터 ${\mathcal {U}}(K)$는 열린집합 격자 $\operatorname {Open} (X)$의 스콧 열린 필터이다. ${\mathcal {K}}$가 하향 집합이므로,

${\mathcal {F}}=\bigcup _{K\in {\mathcal {K}}}{\mathcal {U}}(K)$

역시 스콧 열린 필터를 이룬다. 호프만-미슬러브 정리에 의하여, 그 교집합

$\bigcap {\mathcal {F}}=\bigcap _{K\in {\mathcal {K}}}\bigcap {\mathcal {U}}(K)=\bigcap {\mathcal {K}}$

는 콤팩트 포화 집합이다. 또한, 호프만-미슬러브 정리에 의하여, ${\mathcal {F}}$는 이 교집합의 열린 근방 필터이다.

${\mathcal {F}}={\mathcal {U}}\left(\bigcap {\mathcal {K}}\right)$

만약 $U$가 열린집합이며, $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}\subseteq U$라면, $U\in {\mathcal {F}}$이므로, $U$는 어떤 $K\in {\mathcal {K}}$의 열린 근방이다. 만약 $\textstyle \bigcap {\mathcal {K}}=\varnothing$이라면, $U=\varnothing$는 어떤 $K\in {\mathcal {K}}$의 열린 근방이며, 이 경우 $K=\varnothing$이다.

T₁ 공간의 모든 부분 집합은 포화 집합이다. 따라서, 차분한 T₁ 공간의 경우 포화 집합 조건을 생략하여도 좋다.

역사

게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.

외부 링크

• “Cantor theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cantor's intersection theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “The finite intersection property in compact spaces and countably compact spaces”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 2009년 11월 30일.