오일러 지표

대수적 위상수학과 조합론에서 오일러 지표(Euler指標, 영어: Euler characteristic)란 위상 공간 또는 그래프의 위상수학적 불변량의 하나인 정수다. 즉, 공간의 크기나 왜곡에 관계없는 값이다. 오일러-푸앵카레 지표(Euler-Poincaré characteristic)라고도 부른다. 기호는 그리스 문자 $\chi$ 이다.

정의

사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ 의 호몰로지 $H_{\bullet }(C)$ 가 모두 유한 계수를 갖는다고 하고, 또한 $H_{\bullet }$ 이 어떤 최저·최고 차수 밖에서는 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 사슬 복합체 $(C_{\bullet },\partial _{\bullet })$ 의 오일러 지표 $\chi (C_{\bullet })\in \mathbb {Z}$ 는 다음과 같은 정수이다.

\chi (C_{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\operatorname {rank} H_{i}(C)\in \mathbb {Z}

위상 공간 $X$ 의 오일러 지표 $\chi (X)$ 는 그 특이 사슬 복합체의 오일러 지표이다. CW 복합체 $X$ 의 오일러 지표는 세포 사슬 복합체의 오일러 지표이다. 특히, 그래프나 다면체는 자연스럽게 CW 복합체를 이루므로, 오일러 지표를 조합론적으로 계산할 수 있다.

예

다면체

v를 꼭짓점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 $\chi$ 는 다음과 같다.

\chi =v-e+f

오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 구와 위상동형이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.

이름	꼭짓점 v	모서리 e	면 f	오일러 지표: v - e + f
정사면체	4	6	4	2
정육면체	8	12	6	2
정팔면체	6	12	8	2
정십이면체	20	30	12	2
정이십면체	12	30	20	2

곡면

일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.

이름	그림	오일러 지표
폐구간		1
원		0
원판(disk)		1
구		2
토러스(Torus) (두 원의 곱집합)		0
이중 토러스		-2
삼중 토러스		-4
실사영평면(Real projective plane)		1
뫼비우스 띠		0
클라인 병		0
연결되지 않은 두 개의 구 (교점이 없는 두 구의 합집합)		2 + 2 = 4