야코비 타원함수

수학에서 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

정의

야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수 $(u,m)$ 에 대한 함수이다. 여기서 $0\leq m\leq 1$ 이다.

다음과 같은 타원 적분을 생각하자.

u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}

그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {sn} (u;m)=\sin \phi

\operatorname {cn} (u;m)=\cos \phi

\operatorname {dn} (u;m)={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}

저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신 $k={\sqrt {m}}$ 또는 $\alpha =\arcsin {\sqrt {m}}$ 을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 $0\leq k\leq 1$ , $0\leq \alpha \leq \pi /2$ 이다.

긴 반지름이 $a\geq 1$ 이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.

x^{2}/a^{2}+y^{2}=1

이들을 극좌표계 $(r,\theta )=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\arctan(x/y))$ 로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.

x=x(\theta )

y=y(\theta )

r=r(\theta )={\sqrt {x(\theta )^{2}+y(\theta )^{2}}}

또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

u=\int _{0}^{\theta }\,r(\phi )\,d\phi

그렇다면, $u$ 의 함수로서 $x$ , $y$ , $r$ 은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.

\operatorname {cn} (u)=x(\theta )/a

\operatorname {sn} (u)=y(\theta )

\operatorname {dn} (u)=r(\theta )/a

이 경우, $m$ 은 타원의 이심률의 제곱이다.

m=k^{2}=1-1/a^{2}

간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. $f$ 가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,

f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)

여기서 $K(m)$ 과 $K'(m)$ 은 각각 실사분주기(영어: real quarter period)와 허사분주기(영어: imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다.

K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}

K'(m)=K(1-m)

즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선 $\mathbb {C} /\operatorname {Span} _{\mathbb {Z} }\{4K(m),4iK'(m)\}$ 위에 정의된 유리형 함수이다.

sn, cn, dn 모두

u=iK'(m)

에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.

\operatorname {sn} (0;m)=0

\operatorname {cn} (K(m);m)=0

\operatorname {dn} (K(m)+iK'(m);m)=0

$m=0$ 일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.

\operatorname {sn} (u;0)=\sin u

\operatorname {cn} (u;0)=\cos u

\operatorname {dn} (u;0)=1

반대로, $m=1$ 일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.

\operatorname {sn} (u;1)=\tanh u

\operatorname {cn} (u;1)=\operatorname {dn} (u;1)={\frac {1}{\cosh u}}

야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

\operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {cn} ^{2}(u;m)=1

m\operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {dn} ^{2}(u;m)=1

다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

{\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}

야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {sn} z=\operatorname {cn} z\operatorname {dn} z

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {cn} z=-\operatorname {sn} z\operatorname {dn} z

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {dn} z=-m\operatorname {sn} z\operatorname {cn} z

카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.^[1]

↑ Jacobi, C. G. J. (1829). 《Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum》 (라틴어). Königsberg: Borntraeger.

“Jacobi elliptic functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Jacobi Elliptic Functions”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.