노름 공간

선형대수학 및 함수해석학에서 노름 공간(norm空間, 영어: normed space)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 노름(영어: norm 놈^[*])이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다.

노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생략하면 반노름 공간(半norm空間, 영어: seminormed space)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름(半norm, 영어: seminorm)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.

삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. $\|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)$

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

통상적 정의

$\mathbb {K}$ -벡터 공간 $V$ 위의 반노름은 다음 두 조건들을 만족하는 함수

\lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty )

\lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert

이다.^[1]^{:25, §1.33}

(양의 동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$ 에 대하여, $\Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert$
(삼각 부등식) 임의의 $u,v\in V$ 에 대하여, $\Vert u+v\Vert \leq \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$

반노름이 주어진 $\mathbb {K}$ -벡터 공간 $(V,\lVert \cdot \rVert )$ 을 $\mathbb {K}$ -반노름 공간이라고 한다.

$V$ 위의 노름은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 $\lVert \cdot \rVert$ 이다.^[1]^{:3–4, §1.2}

(양의 정부호성) 모든 $v\in V$ 에 대하여, $\Vert v\Vert =0$ 임은 $v=0$ 임과 동치이다.

노름이 주어진 $\mathbb {K}$ -벡터 공간 $(V,\lVert \cdot \rVert )$ 을 $\mathbb {K}$ -노름 공간이라고 한다.^[1]^{:3–4, §1.2}

민코프스키 범함수를 통한 정의

$\mathbb {K}$ -벡터 공간 $V$ 의 부분 집합 $S\subseteq V$ 의 민코프스키 범함수(영어: Minkowski functional)는 다음과 같다.

\mu _{S}\colon V\to [0,\infty ]

\mu _{S}(v)=\inf\{t\in \mathbb {R} ^{+}\colon v\in tS\}

$\mathbb {K}$ -벡터 공간 $V$ 위의 반노름은 다음 조건을 만족시키는 함수

\lVert \cdot \rVert \colon V\to [0,\infty ]

\lVert \cdot \rVert \colon v\mapsto \Vert v\Vert

이다.

어떤 균형 볼록 흡수 집합의 민코프스키 범함수이다.

(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치이다.

연산

직합

$\mathbb {K}$ -노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 $(V_{i})_{i\in I}$ 과 실수 $1\leq p<\infty$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합

V=\bigoplus _{i}V_{i}

에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

\|(v_{i})_{i\in I}\|_{p}={\sqrt[{p}]{\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}

그렇다면, $(V,\lVert \cdot \rVert _{p})$ 역시 노름 공간을 이룬다.

부분 공간과 몫

$\mathbb {K}$ -노름 공간 $V$ 의 $\mathbb {K}$ -부분 벡터 공간 $W\subseteq V$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $W$ 에 $V$ 의 노름을 제한한 것을 부여하면, $W$ 역시 $\mathbb {K}$ -노름 공간을 이룬다.

$\mathbb {K}$ -노름 공간 $V$ 의 닫힌 $\mathbb {K}$ -부분 벡터 공간 $W\subseteq V$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간 $V/W$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

\|v+W\|_{V/W}=\inf _{w\in W}\|v+w\|_{V}

그렇다면 $V/W$ 역시 $\mathbb {K}$ -노름 공간을 이룬다.

연속 쌍대 공간

$\mathbb {K}$ -노름 공간 $(V,\|\|)$ 의 연속 쌍대 공간 $V'$ 위에는 쌍대 노름

\|f\|_{V'}=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|f(v)|}{\|v\|_{V}}}

을 부여할 수 있으며, 이에 따라 $V'$ 역시 $\mathbb {K}$ -노름 공간을 이룬다.

하우스도르프화

임의의 $\mathbb {K}$ -반노름 공간 $(V,\|\|)$ 에 대하여, 다음과 같은 $\mathbb {K}$ -부분 벡터 공간을 정의하자.

N=\{v\in V\colon \|v\|=0\}

그렇다면, 몫공간 $V/N$ 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

완비화

$\mathbb {K}$ -노름 공간 $(V,\|\|)$ 의 (거리 공간으로서의) 완비화 ${\bar {V}}$ 위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

\|{\bar {v}}\|_{\bar {V}}=\lim _{i\to \infty }\|v_{i}\|_{V}\qquad ({\bar {v}}\in V)

여기서 $(v_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 는 ${\bar {v}}$ 로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면 ${\bar {V}}$ 는 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 단사 $\mathbb {K}$ -선형 등거리 변환

V\hookrightarrow {\bar {V}}

가 존재하여, $V$ 를 ${\bar {V}}$ 의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 $V$ 가 이미 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.

성질

$\mathbb {K}$ -반노름 공간 $V$ 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다.

d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|\qquad (u,v\in V)

만약 $V$ 가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여, $\mathbb {K}$ -반노름 공간은 항상 $\mathbb {K}$ -위상 벡터 공간을 이룬다.

두 $\mathbb {K}$ -반노름 공간 사이의 $\mathbb {K}$ -선형 변환의 경우, 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것이 서로 동치이다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

$\mathbb {K}$ -노름 공간	⇐	$\mathbb {K}$ -내적 공간
⇑		⇑
$\mathbb {K}$ -바나흐 공간	⇐	$\mathbb {K}$ -힐베르트 공간

즉, $\mathbb {K}$ -노름 공간 $(V,\|\|)$ 가 주어졌을 때,

만약 $(u,v)\mapsto (\|u+v\|-\|u-v\|)/2$ 가 $\mathbb {K}$ -쌍선형 형식을 이루면, $(V,\|\|)$ 는 $\mathbb {K}$ -내적 공간을 이룬다.
만약 완비 거리 공간이라면, $(V,\|\|)$ 는 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간을 이룬다.
만약 $(V,\|\|)$ 가 $\mathbb {K}$ -내적 공간이자 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간이라면, $(V,\|\|)$ 를 $\mathbb {K}$ -힐베르트 공간이라고 한다.

노름화 가능 공간

$\mathbb {K}$ -위상 벡터 공간 $V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $V$ 를 반노름화 가능 공간(영어: seminormable space)이라고 한다.^[2]^{:30, Theorem 1.39}

$V$ 의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이다. 즉, $0\in V$ 가 볼록 유계 근방을 갖는다.

$\mathbb {K}$ -위상 벡터 공간 $V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $V$ 를 노름화 가능 공간이라고 한다.^[2]^{:30, Theorem 1.39}

$V$ 의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간이다.

예

모든 벡터 공간에서 자명 반노름(영어: trivial seminorm) $\Vert v\Vert =0$ 은 반노름을 이루지만, 이는 ( $V$ 가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

체

체 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 $\Vert a\Vert =|a|$ 은 노름을 이룬다.

유클리드 공간에서의 노름

임의의 $1\leq p\leq \infty$ 에 대하여, 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 다음과 같은 노름 $\lVert \cdot \rVert _{p}$ 을 정의할 수 있으며, 이를 L^p 노름이라고 한다.

\Vert \mathbf {x} \Vert _{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}

여기서 $p=2$ 인 경우는 표준적인 유클리드 노름

\Vert \mathbf {x} \Vert _{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}

이다. 만약 $p=\infty$ 일 경우는 상한 노름(영어: supremum norm)

\Vert \mathbf {x} \Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dots ,|x_{n}|\}

이 된다. $p=1$ 인 경우는 맨해튼 노름

\Vert \mathbf {x} \Vert _{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|

이 된다.

$\ell ^{p}$ 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{4}$ 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

\Vert x\Vert =2|x_{1}|+{\sqrt {3|x_{2}|^{2}+\max(|x_{3}|,2|x_{4}|)^{2}}}

그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ ^가 ^나 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.

외부 링크

“Norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Normed space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Seminorm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Pre-norm”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Normed space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Seminorm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Norm”. 《nLab》 (영어).
“Definition: norm (vector space)”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 1월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 1월 26일에 확인함.
“Is a normed space which is homeomorphic to a Banach space complete?” (영어). Math Overflow.

[Rudin-1] 가 ^나 ^다 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. Zbl 0867.46001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[RudinFunctionalAnalysis-2] 가 ^나 Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.

[1]

[2]