演算子 (物理学)

物理学における演算子（えんざんし、operator）とはある物理状態の空間から別の物理状態の空間への関数のこと。演算子が用いられている最も簡単な例として対称性があり、群の考え方を有益にしている。このことから、演算子は古典力学において非常に有用なツールとなる。量子力学では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。数学では「作用素」という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる（英語では同じ語で operator である）。

古典力学

古典力学では粒子（または粒子系）の運動はラグランジアン $L(q,{\dot {q}},t)$ やそれと等価であるハミルトニアン $H(q,p,t)$ によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度 ${\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t$ 、共役運動量

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

についての関数である。

LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。（これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。）古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。

より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、

S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)

.

Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。

古典力学での演算子一覧

変換	演算子	位置	運動量
並進対称性	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
時間並進	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
回転不変性	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
ガリレイ変換	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
パリティ	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
T対称性	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

ここで $R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )$ は、単位ベクトル ${\hat {\boldsymbol {n}}}$ と角度θで定義される回転行列。

量子力学

位置表示した波動関数 $\psi (x)$ に対して、位置演算子 ${\hat {x}}=x$ 、運動量演算子 ${\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x$ である（ $i$ は虚数単位、 $\hbar$ はディラック定数）。運動量表示した波動関数 $\psi (p)$ に対して、運動量演算子 ${\hat {p}}=p$ 、位置演算子 ${\hat {x}}=i\hbar \partial /\partial p$ である。量子力学における演算子は必ずしも交換しない。たとえば上記の位置演算子と運動量演算子は非可換である： $[{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar$ （不確定性原理も参照）。

演算子 (物理学)

古典力学

古典力学での演算子一覧

量子力学

出典

関連項目