レベル表現

比の対数; level
量記号
次元	無次元量
種類	スカラー
SI単位	併用単位ベル（B）、ネーパ（Np）
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レベル表現（レベルひょうげん、英語: level）とは、おもに音響や電信などの信号を扱う分野で使われる語であり、対象とするスカラー量について、基準となる量との比の対数をとって表した量である。^{[疑問点 – ノート]}。単位はデシベル（記号: dB）がよく用いられる。比の対数。対数尺度。

レベル表現が多用される場面には、量の和や差よりも積と商が優位となりがちな増幅や減衰を扱う領域がある。桁のかけ離れた量が混在する場面では対数を取ることでその扱いは容易となる。レベル表現は一つの表現形式であり、基準量の値を添えることで元の表現と同一の情報となる。分野領域ごとにレベル表現がもっぱら使用される物理量がある。

定義

正の量 $A$ の基準量 $A 0$ に対するレベル $L$ は次のように定義される。

$L=c\ln {\frac {A}{A_{0}}}$

基準量 $A 0$ は $A$ と同種の量で同じ次元をもつ。従って、対数の中の比 $A / A 0$ は無次元の量となり、冪級数として解析的に定義される対数関数との次元は整合している。国際量体系においては係数 $c$ に次元が与えられていないので、レベル $L$ も無次元量である。

係数 $c$ のベル（記号: B）、デシベル（記号: dB）及びネーパ（記号: Np）に対する値は

$c={\frac {1\ {\text{B}}}{\ln 10}}={\frac {10\ {\text{dB}}}{\ln 10}}=1\ {\text{Np}}$

である。係数 $c$ は対数の底を取り換える働きをして

$L/{\text{B}}=\lg {\frac {A}{A_{0}}}$

$L/{\text{dB}}=10\lg {\frac {A}{A_{0}}}\simeq \log _{1.259}{\frac {A}{A_{0}}}$

$L/{\text{Np}}=\ln {\frac {A}{A_{0}}}$

となる。つまりベルなら底が10の常用対数、ネーパは底がeの自然対数で表した値である。デシベルで表した数値はベルで表した数値を10倍すれば得られるが、10^1/10 ≒ 1.259 が底と考えることもできる。

$A$ や $A 0$ には任意の物理量を選ぶことができる^{[疑問点 – ノート]}が、（変位でなく）エネルギー的な量を選ぶことが標準であり、音圧など変位的な量には $(a / a 0) 2$ と二乗する。 $A$ は一定時間に亘る実効値（エネルギー的平均値）であることが多いが、瞬時値であっても同様にレベルを定義できる。

性質

レベルシフト

→「対数 § 基本的な演算」も参照

レベル表現の基準量を $A'$ ₀ へ変更したとき、対数の基本的な関係式により

$L'=c\ln {\frac {A}{A'_{0}}}=c\ln {\frac {A}{A_{0}}}-c\ln {\frac {A'_{0}}{A_{0}}}=L-{\text{const.}}$

である。すなわち基準量の変更はレベルのシフトすなわち零点の変更に相当する。

各分野において基準量 $A 0$ には標準的な設定がされている。例えば音響学における諸量では以下である。

音圧レベル

L_{p}/{\text{dB}}=20\lg {\frac {p_{\text{rms}}}{p_{0}}}

音圧の基準量： $p 0 = 2.0 \times 10 -5 Pa$

音響パワーレベル

L_{P}/{\text{dB}}=10\lg {\frac {P_{\text{m}}}{P_{0}}}

音響パワーの基準量： $P 0 = 1 \times 10 -12 W$

騒音暴露レベル

L_{E}/{\text{dB}}=10\lg {\frac {E}{E_{0}}}

騒音暴露量の基準量： $E 0 = 1 s \times p 02$

レベル差

同じ基準量に対するレベル $L 1$ と $L 2$ の差は

$L_{2}-L_{1}=c\ln {\frac {A_{2}}{A_{0}}}-c\ln {\frac {A_{1}}{A_{0}}}=c\ln {\frac {A_{2}}{A_{1}}}$

で表さる。すなわちレベル差は基準量には依らない。基準量の変更はレベルのシフトにあたるため、2つのレベルが同じだけシフトされても差が変わらない（基準量に依らない）とも説明できる。

例えば $(A_{0},A_{1},A_{2})=(1,10,1000)$ のとき $(L_{1},L_{2})=(10\ {\text{dB}}\times \lg 10^{1},10\ {\text{dB}}\times \lg 10^{3})=(10\ {\text{dB}},30\ {\text{dB}})$ で差は20dBであり、 $A_{0}=10$ に変更しても $(L_{1},L_{2})=(10\ {\text{dB}}\times \lg 1,10\ {\text{dB}}\times \lg 10^{2})=(0\ {\text{dB}},20\ {\text{dB}})$ となり差は20dBで変化しない。

対数尺度を内包する単位

特定の数量/物理量に対しレベル表現をする指標がある。身近な表現としては「桁数」があり、巨大な数を簡潔に表せる点など本質的にレベル表現と同じである。

これらは定数倍することでデシベルやネーパに換算できる。なお、底が1より小さい場合、指標が大きいほど実際の物理量は小さくなる。

元の数量/物理量	対数尺度	底
10進数	桁数	10
水素イオン濃度	水素イオン指数 (pH)	10（負号省略のため実質1/10）
地震のモーメント	マグニチュード (M)	10^1.5 ≒ 31.623
天体の光度	等級	10^−0.4 ≒ 1 / 2.512
周波数	ディケード	10
音の周波数	オクターブ	2
音の周波数	半音	2^1/12 ≒ 1.059

定義

性質

レベルシフト

レベル差

対数尺度を内包する単位

関連項目