Periodo (teoria dei numeri)

In matematica, un periodo è un tipo di numero che può essere espresso mediante l'integrale di una funzione algebrica su un dominio algebrico, cioè un insieme numerico definito tramite un’equazione o una disuguaglianza. Tale nozione è stata ufficialmente introdotta da Maxim Kontsevich e Don Zagier nel 2001, riprendendo un discorso tenuto da Kontsevich nel 1999 per il Journée Annuelle della Société mathématique de France.

Definizione

Secondo Kontsevich “un periodo è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono i valori di integrali assolutamente convergenti di funzioni razionali a coefficienti razionali su domini in $\mathbb {R} ^{n}$, definiti tramite diseguaglianze polinomiali a coefficienti razionali".

È del tutto equivalente sostituire nella definizione sopra ai numeri razionali $\mathbb {Q}$ quelli algebrici.

In pratica un periodo $p$ si presenta nella forma:

$p=\int \limits _{\Delta }{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n},$

dove $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}$e $f$ e $g$ sono polinomi con coefficienti in $\mathbb {Q} .$

Il nome fa riferimento al fatto che casi notevoli di tali numeri sono $\pi$ e suoi multipli, i quali sono, appunto, i periodi di funzioni periodiche fondamentali, come ad esempio $\sin(x)$, $\cos(x)$e $e^{ix}$, o periodi di funzioni ellittiche.

L’insieme di tutti i periodi viene indicato con il simbolo $\mathbb {P}$.

Esempi

• Tutti i numeri algebrici, come

${\sqrt {2}}=\int _{2x^{2}\leq 1}\mathrm {d} x,\qquad$ossia$\qquad {\sqrt {2}}=\int _{-1/{\sqrt {2}}}^{1/{\sqrt {2}}}\mathrm {d} x$.

In pratica ponendo l’integrando uguale alla costante 1 si può sempre costruire il valore finale in base al dominio.

• I numeri trascendenti come $\pi$ sono un periodo, in quanto possono essere scritti come

$\pi =\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y,$

$2\pi =\int _{x^{2}+y^{2}=1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y,$

$2\pi i=\oint {\frac {dz}{z}},$

nel piano complesso attorno al punto $z=0.$

• I logaritmi di numeri algebrici, come:

$\ln 2=\int _{1<x<2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},\qquad$ossia $\qquad \ln 2=\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}.$

• Gli integrali ellittici come ad esempio i periodi delle funzioni ellittiche di Weierstrass di parametri algebrici g₂, g₃:

$\omega _{i}=\int _{e_{i}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}},\quad i=1,2.$

• I valori interi della funzione zeta di Riemann, come

$\zeta (3)=\iiint \limits _{0<x<y<z<1}{\frac {\mathrm {d} xdydz}{(1-x)yz}}.$

• La funzione gamma $\Gamma (p/q)^{q}$ per p e q numeri naturali, come

$\Gamma (1/3)^{3}=2^{4/3}3^{1/2}\pi \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{3}}}}.$

• Gli integrali della matrice S in meccanica quantistica sono periodi.

Caratteristiche

La somma e il prodotto di due periodi è anch'esso un periodo, perciò i periodi formano un anello.

Inclusione

I vari tipi di numeri sono costruiti per estensioni successive, partendo dai numeri naturali $\mathbb {N}$ fino ad arrivare ai complessi $\mathbb {C}$, ottenendo la sequenza classica

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .$

È possibile raffinare la sequenza introducendo i numeri algebrici ${\overline {\mathbb {Q} }}$, che sono tutti i numeri reali e complessi, non trascendenti, per cui

${\begin{array}{lcl}\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} &\subset &\mathbb {Q} \subset {\overline {\mathbb {Q} }}\\&&\cap \quad \ \ \cap \\&&\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \end{array}}$

Tutti i tipi di numeri fino agli algebrici (prima riga), sono numerabili, mentre quelli della seconda, che include i trascendenti, non lo sono.

I periodi, invece sono numerabili pur includendo alcuni trascendenti come $\pi$, e quindi sono inclusi nei complessi.

Se è facile riuscire a rappresentare dei complessi, anche trascendenti, come periodi, è difficile trovare dei numeri che sicuramente non siano periodi. La costante di Nepero e, è un numero trascendente che potrebbe non essere un periodo.

Nel 2008, Masahiko Yoshinaga ha scoperto come produrre un reale computabile che non sia un periodo.

Bibliografia

• Maxim Kontsevich e Don Zagier, Periods, 2001 (PDF), su ihes.fr.
• Michel Waldschmidt, Périodes d’après M. Kontsevich et D. Zagier, 2004 (PDF), su webusers.imj-prg.fr.
• Periods and Feynman integrals, 2007, su arxiv.org.
• Period, su planetmath.org.
• Stefan Müller-Stach, What is a Period? (PDF), su www2.mathematik.hu-berlin.de.
• Matthew von Hippel, Il codice delle particelle, Le Scienze n. 607, marzo 2019

Voci correlate

• Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
• Equazion di Picard-Fuchs
• Funzione L