Gruppo moltiplicativo

In matematica e nella teoria dei gruppi il termine gruppo moltiplicativo si riferisce, a seconda del contesto ad uno dei seguenti concetti:

• qualsiasi gruppo $G$ la cui operazione binaria è scritta con notazione moltiplicativa (invece di essere scritta con la notazione additiva usata per i gruppi abeliani);
• il sottogruppo rispetto alla moltiplicazione degli elementi invertibili di un campo, di un anello, o altra struttura che abbia la moltiplicazione tra le sue operazioni. Nel caso di un campo $F$ il gruppo è $\{F-\{0\},\cdot \},$ dove 0 si riferisce all'elemento zero di $F$ e l'operazione binaria $\cdot$ è la moltiplicazione del campo;
• il toro algebrico $\mathbf {GL} _{1}$.

Schema in gruppi delle radici dell'unità

Lo schema in gruppi delle radici $n$-sime dell'unità è per definizione il nucleo della $n$-mappa di potenza sul gruppo moltiplicativo $\mathbf {GL} _{1}$, considerato come schema in gruppi. Perciò per qualsiasi intero $n>1$ possiamo considerare il morfismo sul gruppo moltiplicativo che prende le potenze $n$-esime, e assume un prodotto fibrato appropriato nel senso della teoria degli schemi di questo, con il morfismo $e$ che funziona come identità.

Il risultante schema in gruppi viene scritto come $\mu _{n}$. Questo origina uno schema ridotto, quando lo poniamo su un campo $K$, se e solo se la caratteristica di $K$, non divide $n$. Questo dà origine ad alcuni esempi chiave di schemi non ridotti (ossia schemi con elementi nilpotenti nei loro fasci di struttura; per esempio $\mu _{p}$ su un campo finito con $p$ elementi per qualsiasi numero primo $p$.

Questo fenomeno non è facilmente esprimibile nel linguaggio classico della geometria algebrica. Risulta che esso è di grande importanza, per esempio, nell'esprimere la teoria di dualità delle varietà abeliane nella caratteristica $p$ (teoria di Pierre Cartier). La coomologia di Galois di questo schema di gruppo è un modo per esprimere la teoria di Kummer.

Bibliografia

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V.Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900

Voci correlate

• Gruppo moltiplicativo degli interi modulo n
• Gruppo additivo