Funzione iniettiva

Un esempio di funzione non iniettiva: gli elementi 3 e 4 vengono mandati entrambi nell'elemento C

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

In altre parole: una funzione da un insieme $X$ a un insieme $Y$ è iniettiva se ogni elemento di $Y$ non può essere ottenuto in più modi diversi partendo dagli elementi di $X$ .

Definizione

Una funzione $f\colon X\to Y$ si dice iniettiva se due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, ossia $a_{1}\neq a_{2}$ implica $f(a_{1})\neq f(a_{2})$ ; equivalentemente, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine allora coincidono necessariamente, ossia $f(a_{1})=f(a_{2})$ implica $a_{1}=a_{2}$ .

Simbolicamente:^[1]^[2]

\forall x,y\in X,\;\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y

oppure, nella forma contronominale:^[3]

\forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).

Proprietà

Grafico

Se $f\colon X\to Y$ è una funzione iniettiva, allora ogni elemento dell'immagine ${\text{Im}}(f)=f(X)=\{f(a)\mid a\in X\}$ è immagine di esattamente un elemento del dominio, e la proiezione del grafico $\Gamma (f)=\{(a,b)\in X\times Y\mid f(a)=b\}$ sulla seconda coordinata è una funzione iniettiva.

In particolare, se $f$ è una funzione reale di una variabile reale iniettiva, qualunque retta parallela all'asse delle $x$ intersecherà il grafico della funzione in al massimo un punto. Se inoltre la funzione iniettiva è definita e continua su un intervallo, allora è strettamente monotòna (strettamente crescente o strettamente decrescente).^[4]

Viceversa, se $f$ è una funzione reale di variabile reale non iniettiva, allora esistono due elementi del dominio che hanno la stessa immagine, $f(a_{1})=f(a_{2})=b$ . Dunque la retta $y=b$ interseca il grafico $\Gamma (f)$ in almeno due punti: $(a_{1},b)$ e $(a_{2},b)$ .

Omomorfismi

Un omomorfismo di gruppi è iniettivo (monomorfismo) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo elemento neutro.^[5]^[6]

In particolare, un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è iniettiva se e solo se il suo nucleo è composto solo dal vettore nullo.^[7] Equivalentemente in spazi di dimensione finita, un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione del dominio: non esistono quindi applicazioni lineari iniettive da uno spazio ad un altro di dimensione minore.

Invertibilità

La funzione esponenziale, definita da $\mathbb {R}$ alla sola immagine $\exp(\mathbb {R} )=]0,\infty [$ è invertibile, con inversa la funzione logaritmo $\log(x)$ La funzione logaritmo $\log(x)$ è l'inversa della funzione esponenziale $\exp(x)=e^{x}$ , se quest'ultima è definita quando il codominio di quest'ultima è ristretto all'intervallo $(0,+\infty )$

L'iniettività è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'invertibilità.

Una funzione iniettiva $f\colon X\to Y$ non è in generale invertibile, perché dovrebbe essere anche suriettiva. Restringendo però il codominio all'immagine si ottiene una diversa funzione ${\tilde {f}}\colon X\to f(X)$ , invertibile.

Una funzione invertibile $f$ è iniettiva, ed anche la sua inversa $f^{-1}$ , essendo invertibile, è iniettiva.

Composizione

La composizione di due (o più) funzioni iniettive è iniettiva:

a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})\Rightarrow g(f(a_{1}))\neq g(f(a_{2}))

Se la funzione composta $g\circ f$ è iniettiva, allora $f$ è iniettiva, ma non è detto che $g$ lo sia. Ad esempio, la funzione iniettiva $g\circ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to ({e^{x}})^{2}$ è composizione di una funzione iniettiva $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to e^{x}$ e di una funzione non iniettiva $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to x^{2}$ .

Se esistono due funzioni distinte $g,h\colon C\to A$ tali che $f\circ g=f\circ h$ , allora $f$ non è iniettiva: infatti esiste un $c\in C$ con $g(c)\neq h(c)$ , ma $f(g(c))=f(h(c))$ .

Cardinalità

Una funzione il cui dominio abbia cardinalità superiore al codominio non può essere iniettiva. Dunque una funzione iniettiva tra due insiemi ha un codominio di cardinalità maggiore o uguale al dominio.

Questa proprietà è vera, oltre che per insiemi di cardinalità finita anche per insiemi di cardinalità infinita: per esempio, non esistono funzioni iniettive da un insieme con la cardinalità del continuo a un insieme numerabile.

Numero di funzioni iniettive

Il numero di funzioni iniettive da un insieme finito $A$ con $n$ elementi ad un insieme finito $B$ con $m$ elementi è pari al numero di disposizioni semplici di $m$ elementi, presi $n$ a $n$ :

{\frac {m!}{(m-n)!}}

.

Altre proprietà

Se $f:A\rightarrow B$ è iniettiva, e $X$ e $Y$ sono sottinsiemi di A, allora $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$ .

Ogni funzione $f\colon A\rightarrow B$ può essere scomposta come composizione $f=h\circ g$ di una funzione suriettiva $g\colon A\to f(A)$ e di una funzione iniettiva $h\colon f(A)\to B$ , definendo $g(a)=f(a)$ e $h(b)=b$ .

Ulteriori caratterizzazioni dell'iniettività

Quelle che seguono sono formulazioni equivalenti alla definizione dell'iniettività di una funzione $f:A\rightarrow B$ e, pertanto, sono interpretabili come ulteriori caratterizzazioni della stessa proprietà.

Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione $g:B\rightarrow A$ tale che $g\circ f=\mathrm {id} _{A}.$
Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme $T$ e per ogni funzione $g:T\rightarrow A,$ e $h:T\rightarrow A,$ tali che $f\circ g=f\circ h,$ si ha $g=h.$
Identità della controimmagine dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni $S\subseteq A,$ si ha $f^{-1}(f(S))=S.$

Esempi

Su ogni insieme $X$ la funzione identità $id_{X}\colon X\to X\colon x\mapsto x$ è iniettiva (e suriettiva).
L'inclusione $\imath \colon Y\hookrightarrow X$ di un sottoinsieme $Y\subset X$ in $X$ , essendo restrizione dell'identità $id_{X}$ , è iniettiva.
Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, $f\colon \{x\}\to Y$ , è iniettiva.
Una funzione definita sull'insieme vuoto, $f\colon \emptyset \to Y$ , è iniettiva.
Una funzione costante, $f_{y}\colon X\to Y\colon x\mapsto y$ , definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.
Per $a,b\in \mathbb {R}$ e $a\neq 0$ , la funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto ax+b$ è iniettiva (e suriettiva).
La funzione esponenziale $\exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ non è iniettiva.
La funzione esponenziale $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ è iniettiva.
La funzione logaritmo, $\log \colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R}$ , è iniettiva.
Una funzione reale derivabile, $f\in D^{1}(\mathbb {R} )$ , la cui derivata sia sempre strettamente positiva, o sempre strettamente negativa, è iniettiva.
Una funzione reale derivabile, $f\in D^{1}(\mathbb {R} )$ , la cui derivata cambi segno, non è iniettiva.
La funzione quadrato $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \colon x\mapsto x^{2}$ è iniettiva.
La funzione quadrato $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{2}$ non è iniettiva.
La funzione cubo $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{3}$ è iniettiva.
La funzione cubo $f\colon \mathbb {F} _{7}\to \mathbb {F} _{7}\colon x\mapsto x^{3}$ non è iniettiva.
Una funzione periodica (come seno e coseno) non è iniettiva.

Note

^ Herstein, I. N., Pag. 13.
^ Hungerford, T. W., Pag. 4.
^ Soardi, P.M., Pag.31.
^ Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I, traduzione di Roger Cooke, Springer Science & Business Media, 2004, p. 165, ISBN 978-3-540-40386-9.
^ Herstein, I. N., Pag. 61.
^ Hungerford, T. W., Pag. 31.
^ Lang, Serge, Pag. 94.

Bibliografia

I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti, 1995, ISBN 88-359-3634-9.
Thomas W. Hungerford, Algebra, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90518-9.
Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Paolo Maurizio Soardi, Analisi Matematica, CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulle funzioni iniettive

Collegamenti esterni

funzione iniettiva, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) injection, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Funzione iniettiva, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Herstein, I. N., Pag. 13.

[2] Hungerford, T. W., Pag. 4.

[3] Soardi, P.M., Pag.31.

[4] Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I, traduzione di Roger Cooke, Springer Science & Business Media, 2004, p. 165, ISBN 978-3-540-40386-9.

[5] Herstein, I. N., Pag. 61.

[6] Hungerford, T. W., Pag. 31.

[7] Lang, Serge, Pag. 94.

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