Visualizza wikitesto di Campo algebricamente chiuso

In [[matematica]], un '''campo algebricamente chiuso''' è un [[campo (matematica)|campo]] <math>F</math> in cui ogni [[polinomio]] non costante a coefficienti in <math>F</math> ha una [[radice (matematica)|radice]] in <math>F</math> (cioè un elemento <math>x</math> tale che il valore del polinomio in <math>x</math> è l'[[elemento neutro]] dell'addizione del campo).

Ad esempio, il campo dei [[numero reale|numeri reali]] non è algebricamente chiuso, perché l'equazione polinomiale

:<math>3x^2 + 1 = 0</math>

non ha soluzioni nei reali, anche se entrambi i suoi coefficienti (3 e 1) sono reali. Al contrario, il campo dei [[numero complesso|numeri complessi]] è algebricamente chiuso: questo è ciò che afferma il [[teorema fondamentale dell'algebra]].

==Proprietà equivalenti==
Un modo comune di esprimere il fatto che un campo <math>F</math> è algebricamente chiuso è attraverso la [[polinomio irriducibile|riducibilità]] dei suoi polinomi: <math>F</math> è algebricamente chiuso [[se e solo se]] ogni polinomio <math>p(x)</math> di grado <math>n\geq 1</math> può essere decomposto come <math>p(x)=K(x-x_1)\cdots(x-x_n)</math>, dove <math>x_1,\ldots,x_n</math> sono elementi di <math>F</math>. Gli <math>x_i</math> sono precisamente gli elementi del campo che annullano <math>p(x)</math>. Equivalentemente, <math>F</math> è algebricamente chiuso se e solo se gli unici polinomi irriducibili sono quelli lineari.

Dalla definizione segue anche che un campo è algebricamente chiuso se e solo se non possiede [[Estensione algebrica|estensioni algebriche]] proprie, o se e solo se non possiede [[estensione finita|estensioni finite]] proprie.

== Cardinalità ==
Si noti che nessun campo algebricamente chiuso può essere finito. 

Supponiamo che esista un campo <math>(K,+,\times) = \{0_K, 1_K, k_1,\ldots, k_n\}</math> con <math>n+2</math> elementi (con <math>0_K</math> elemento neutro e <math>1_K</math> unità) algebricamente chiuso; prendiamo allora il polinomio <math>p(x) = x(x-1_K)(x-k_1)\ldots(x-k_n) + y</math>, con <math>y \in K : y \ne 0_K</math> e <math>\deg( p) = n+2 \ge 1</math>. 

Risulta automatico che per ogni <math>x \in K,</math> si ha <math>p(x) = y \ne 0_K</math> e quindi <math>K</math> non può essere algebricamente chiuso, perché esisterebbe almeno un polinomio irriducibile a coefficienti in <math>K</math> di grado maggiore o uguale a 1.

È anche interessante notare come questa dimostrazione risulti analoga alla dimostrazione del [[teorema dell'infinità dei numeri primi]] in <math>\mathbb{N}</math>, in quanto equivalente ad affermare che esistono infiniti elementi irriducibili in <math>K[x]</math> per un campo <math>K</math> arbitrario.

Non è necessaria una [[cardinalità]] superiore ad <math>\aleph _0</math>, basti prendere l'insieme dei [[numeri algebrici]] su <math>\mathbb{Q}</math> in <math>\mathbb{C}</math> la cui cardinalità è uguale a quella di <math>\mathbb{Q}</math> che è numerabile.

== Chiusura algebrica ==
{{vedi anche|Chiusura algebrica}}
Ogni campo <math>F</math> può essere incluso in un campo <math>K</math> algebricamente chiuso che è, in un certo senso, "il più piccolo" campo algebricamente chiuso che lo contiene: più precisamente, tale che nessun campo intermedio tra <math>F</math> e <math>K</math> è algebricamente chiuso o, equivalentemente, tale che <math>K</math> è [[estensione algebrica|algebrico]] su <math>F</math>. In questo caso, <math>K</math> è detto una ''chiusura algebrica'' di <math>F</math>: due chiusure algebriche di <math>F</math> sono sempre tra loro [[isomorfismo|isomorfe]], sebbene non sia possibile in genere stabilire un isomorfismo canonico tra due chiusure algebriche (astratte) di <math>F</math>. Per dimostrare questa proprietà è necessario usare il [[lemma di Zorn]].

Ad esempio, il campo dei numeri complessi è una chiusura algebrica del campo dei numeri reali, ma non è la chiusura algebrica dei [[numero razionale|numeri razionali]], che è invece il campo dei [[numero algebrico|numeri algebrici]].

== Bibliografia ==
*{{cita libro | autore= Stefania Gabelli | titolo= Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois | editore= Springer| città= Milano| anno= 2008 | isbn= 978-88-470-0618-8}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei campi]]