Papers by Wojciech Guzicki
Tekst przygotowany na podstawie artykułu W. Guzickiego "Numerowanie sześcianu" i odczyt... more Tekst przygotowany na podstawie artykułu W. Guzickiego "Numerowanie sześcianu" i odczytu wygłoszonego na XXXVII Szkole Matematyki Poglądowej nt. Algebraiczne mocarstwo, sierpień 2006
O twierdzeniach i hipotezach. Matematyka według Delty, 2016
stan, w którym nic nie jest na swoim miejscu. Inaczej mówiąc, bałaganem w zbiorze uporządkowanym ... more stan, w którym nic nie jest na swoim miejscu. Inaczej mówiąc, bałaganem w zbiorze uporządkowanym {a1, a2, . . . , an}, w którym a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ an, byłby taki porządek ai1 ≺ ai2 ≺ . . . ≺ ain , że ik 6= k dla każdego k. Chwila zastanowienia pokazuje, że tak naprawdę ta definicja nie odwołuje się do porządku. Istotne jest tylko to, że permutacja (i1, i2, . . . , in) nie ma punktów stałych. Ze względu na temat tej Szkoły, poszukajmy takiej definicji bałaganu, w której pojęcie porządku byłoby naprawdę istotne.
W ostatnich dniach grudnia 2007 roku minęło 75 lat od jednego z największych osiągnięć w kryptogr... more W ostatnich dniach grudnia 2007 roku minęło 75 lat od jednego z największych osiągnięć w kryptografii, złamania budowy maszyny szyfrującej Enigma przez Mariana Rejewskiego. Osiągnięcie to ma dla nas, matematyków, szczególne znaczenie, gdyż złamanie budowy tej maszyny odbyło się za pomocą metod czysto matematycznych. W tym artykule zostanie przedstawione rozumowanie Mariana Rejewskiego, będące początkiem długiej historii łamania szyfrów Enigmy, najpierw przez matematyków polskich, a od wybuchu II Wojny Światowej, także matematyków angielskich (wśród nich Alana Turinga).
Fundamenta Mathematicae, 1981
Fundamenta Mathematicae, 1976
Fundamenta Mathematicae, 1974
Fundamenta Mathematicae, 1973
Rozszerzony program matematyki w gimnazjum Spis treści 13 3. Cele i omówienie programu 3. Cele i ... more Rozszerzony program matematyki w gimnazjum Spis treści 13 3. Cele i omówienie programu 3. Cele i omówienie programu W tym rozdziale wskażę cele, które chcę osiągnąć za pomocą mojego programu. George Polya w swojej książce [Polya-2] na stronie 291 pisze: "najpierw i przede wszystkim należy uczyć młodzież MYŚLEĆ". Dalej, na stronie 308, Polya podaje 10 przykazań dla nauczycieli. Zacytuję kilka odnoszących się bezpośrednio do celów i sposobów nauczania: 6. Niech uczą się odgadywać. 7. Niech uczą się udowadniać. 8. Dostrzegać te cechy zadania, które mogą być użyteczne przy rozwiązywaniu innych zadań-starać się dostrzec w danej konkretnej sytuacji metodę ogólną. 9. Nie ujawniać od razu całego sekretu-niech uczniowie odgadną go, zanim zostanie ujawniony-niech znajdą sami tyle, ile jest to możliwe. 10. Sugerować, nie narzucając swego zdania. Przykazania 6, 7 i 8 przybliżają nam to, co Polya miał na myśli pisząc, że należy uczyć młodzież myśleć. Myślenie matematyczne to między innymi odgadywanie, dowodzenie i wyciąganie wniosków ogólnych, uogólnianie. To wszystko powinno znaleźć się w dobrym programie nauczania. Musimy mieć zadania, które uczą odgadywania; odgadnięcie jest najważniejszą fazą rozwiązania zadania matematycznego. Musimy mieć zadania, które uczą dowodzenia; tak naprawdę to jest najważniejsza część mojego programu. Musimy zwracać uwagę uczniów na wnioski natury ogólnej wypływające z rozwiązań, a wybrane zadania powinny to umożliwiać. Przykazania 9 i 10 dotyczą dydaktyki. Przykazanie 9 każe nam uczyć metodą dialogu, w którym nauczyciel stawia pytania, a uczeń odpowiada na tak wiele z nich, na ile umie. To bardzo powolna metoda uczenia; o wiele szybciej (niektórzy mówią wprost: o wiele efektywniej) jest podać uczniom całą prawdę od razu i kazać się jej nauczyć. Nie zawsze to, co najefektywniejsze, jest dla ucznia najlepsze. Nie chodzi tylko o to, by uczeń nauczył się dokładnie tego, czego uczymy, ale by nauczył się pewnych umiejętności, wśród nich samodzielnego rozumowania. Nie chcę tu jednak jednoznacznie krytykować takiego nauczania podającego; sam je stosuję, ale jest ono tylko fazą wstępną większego procesu. Będę o tym pisał dalej. Przykazanie 10 powinno być mottem dla całego poradnika. Nie chcę twierdzić, że to wszystko, co piszę, jest jakąś ostateczną prawdą objawioną. Sugeruję Czytelnikom, by z moich doświadczeń korzystali; nie chcę niczego narzucać. Sugeruję, by każdy wybrał to, co uzna za ciekawe, odpowiadające jego własnemu sposobowi nauczania i spróbował to wdrożyć. Mam nadzieję, że dostrzeże korzyść. Zagadnienia poruszone w poradniku zostały pogrupowane według działów matematyki. Uważałem, że tak będzie wygodniej dla nauczyciela korzystającego z poradnika. Jednak tu chcę zwrócić uwagę na to, że tak naprawdę poradnik powinien udzielić odpowiedzi na pewne podstawowe pytania dotyczące nauczania. Na niektóre pytania, natury bardziej ogólnej, odpowiem w tym rozdziale; na inne odpowiadam w poszczególnych rozdziałach. Przejdźmy do pierwszej kwestii: nauczenia myślenia. * Diagram 3 21 65 Klasa I • Sprawy organizacyjne-1 godz. • Sudoku-3 godz. (Razem dotąd 4 godz.). • Powtórzenie ze szkoły podstawowej-10 godz. (Razem dotąd 14 godz.). ⋆ Własności liczb i działań. ⋆ Ułamki i działania na ułamkach (zwłaszcza skracanie ułamków). ⋆ Liczby pierwsze, NWD, NWW, algorytm Euklidesa. ⋆ Dzielenie z resztą. ⋆ Ułamki dziesiętne, ułamki okresowe. ⋆ Kartkówka (np. z zaokrąglania liczb) i klasówka jednogodzinna. • Zadania tekstowe-12 godz. (Razem dotąd 26 godz.). ⋆ W tym 2-3 godz. na wzory ogólne-po omówieniu wyrażeń algebraicznych. ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Procenty-9 godz. (Razem dotąd 35 godz.). ⋆ Tworzenie wykresów procentowych. ⋆ Kartkówka (3 podstawowe typy zadań) i klasówka jednogodzinna. • Wyrażenia algebraiczne, część I-15 godz. (Razem dotąd 50 godz.). ⋆ Działania na wyrażeniach algebraicznych bez mnożenia sum algebraicznych, wyłączania poza nawias i rozkładania wyrażeń na czynniki. ⋆ 1-2 kartkówki i klasówka jednogodzinna. • Równania-16 godz. (Razem dotąd 66 godz.). ⋆ Układanie równań, w tym klasówka godzinna. ⋆ Rozwiązywanie równań, w tym także równań z parametrami, w tym klasówka jednogodzinna. • Przedziały i rozwiązywanie nierówności-10 godz. (Razem dotąd 76 godz.). ⋆ Przedziały i zaznaczanie ich na osi liczbowej. ⋆ Rozwiązywanie nierówności. ⋆ Wartość bezwzględna. ⋆ Równania i nierówności z wartością bezwzględną. ⋆ 2 kartkówki: jedna z rozwiązywania nierówności, druga z wartości bezwzgkędnej. • Proporcje-8 godz. (Razem dotąd 84 godz.). ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Wyrażenia algebraiczne, część II-12 godz. (Razem dotąd 96 godz.). ⋆ Mnożenie wyrażeń algebraicznych. ⋆ Wyłączanie poza nawias. ⋆ Rozkładanie wyrażeń na czynniki. ⋆ Wzory skróconego mnożenia. ⋆ Dowodzenie nierówności. ⋆ Kartkówka i klasówka jednogodzinna. • Geometria trójkąta-36 godz. (Razem dotąd 132 godz.) Ze względu na znaczenie geometrii w moim programie podaję liczby godzin na poszczególne tematy. ⋆ Podstawowe pojęcia (3 godz.). ⋆ Pierwsze twierdzenia (3 godz.). ⋆ Zadania-zestawy I-IV (16 godz.). ⋆ Papier w kratkę (3 godz.). ⋆ Zadania z podręcznika (7 godz.). ⋆ Klasówki (4 godz.). 355 19. Realizacja programu • Symetrie-10 godz. (Razem dotąd 142 godz.). ⋆ W tym omówienie projektu o szlaczkach. • Inne-13 godz. (Razem dotąd 155 godz.). ⋆ Test OMG, wraz z omówieniem (4 godz.). ⋆ Omówienie zadań z zawodów I i II stopnia OMG (3 godz.). ⋆ Omówienia i poprawy klasówek-8 godz. Klasa II • Przygotowanie do Konkursu Wojewódzkiego i do OMG (na początku roku szkolnego)-30 godz. ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Dokończenie geometrii trójkąta (zestawy zadań V i VI)-10 godz. (Razem dotąd 40 godz.). ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Pola wielokątów, trójkąty prostokątne (zestaw VII)-10 godz. (Razem dotąd 50 godz.). ⋆ W tym zadania z podręcznika. ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Geometria okręgu (zestawy zadań VIII-X)-16 godz. (Razem dotąd 66 godz.). ⋆ W tym zadania z podręcznika o wielkątach i okręgach. ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Długość okręgu, pole koła-4 godz. (Razem dotąd 70 godz.). ⋆ Temat, który uczniowie przygotowują samodzielnie. ⋆ Klasówka jednogodzinna, omówienie klasówki oraz poprawa (jednogodzinna). • Układ współrzędnych-4 godz. (Razem dotąd 74 godz.). ⋆ Kartkówka. • Konstrukcje geometryczne-6 godz. (Razem dotąd 80 godz.). ⋆ W tym omówienie działania programu komputerowego do przeprowadzania konstrukcji. • Potęgi-6 godz. (Razem dotąd 86 godz.). ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Pierwiastki-10 godz. (Razem dotąd 96 godz.). ⋆ W tym usuwanie niewymierności. ⋆ Średnia geometryczna i kwadratowa, nierówności między średnimi. ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Układy równań-10 godz. (Razem dotąd 106 godz.). ⋆ Klasówka jednogodzinna. • Stereometria-24 godz. (Razem dotąd 130 godz.). ⋆ Zajęcia wstępne (7 godz.). ⋆ Graniastosłupy (6 godz.). ⋆ Ostrosłupy (8 godz.). ⋆ 3 klasówki jednogodzinne (3 godz.). • Statystyka-4 godz. (Razem dotąd 134 godz.). ⋆ Kartkówka. • Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa-12 godz. (Razem dotąd 144 godz.). ⋆ W tym omówienie i podsumowanie eksperymentu. ⋆ Klasówka jednogodzinna.
Lecture Notes in Mathematics, 1977
Synthese, 1974
In the present paper we shall discuss the problem whether an co-model of second order arithmetic ... more In the present paper we shall discuss the problem whether an co-model of second order arithmetic can be elementarily extended to an co-model. The axiomatic system of the second order arithmetic (with the axiom scheme of choice) will be denoted by A2 (see [3] or [7]). The above problem for full A2 has been solved by H. J. Keisler [3] and independently though somewhat later by A. Mostowski [6]. In their proofs the axiom scheme of choice has been strongly used. Namely, both proofs make use of the fact that in A2 we are able to define a a-additive generalized quantifier. The quantitiers 'there exist uncountably many' and 'there exist arbitrarily large well orderings' have this property. The problem arises whether co-models of A ; (A 2 without the axiom scheme of choice) can be elementarily extended to co-models, as well as the problem whether these quantifiers are countably additive in A; . A. L6vy has shown in [5] (cf. also [1]) that one can construct a model of A~ in which the second quantifier fails to be aadditive. This model is the continuum of a model of set theory in which co~ = col. Though in L6vy's model the continuum is a countable union of countable sets, the first quantifier turns out to be a-additive. The aim of the present paper is to prove this curious fact. L6vy's model, however, is a counterexample for Mostowski-Suzuki theorem (see [7]) in the case of A; . This fact was communicated to me by K. Apt during the Logical Semester in Warsaw.
Proceedings of the American Mathematical Society, 1990
Let M M be a countable model of Z F − {\mathbf {Z}}{{\mathbf {F}}^ - } . There exists a family F ... more Let M M be a countable model of Z F − {\mathbf {Z}}{{\mathbf {F}}^ - } . There exists a family F \mathcal {F} of 2 2 ω {2^{{2^\omega }}} models of Z F − {\mathbf {Z}}{{\mathbf {F}}^ - } each obtained from M M by adjoining an M M -generic family of 2 ω {2^\omega } Cohen reals, such that no two distinct models in F \mathcal {F} have a common extension to a model of Z F − {\mathbf {Z}}{{\mathbf {F}}^ - } with the same ordinals.
Proceedings of the American Mathematical Society, 1989
Let M M be a countable transitive model of ZFC and A A be a countable M M -generic family of Cohe... more Let M M be a countable transitive model of ZFC and A A be a countable M M -generic family of Cohen reals. We prove that there is no smallest transitive model N N of ZFC that either M ∪ A ⊆ N M \cup A \subseteq N or M ∪ { A } ⊆ N M \cup \{ A\} \subseteq N . It is also proved that there is no smallest transitive model N N of ZFC − ^{-} (ZFC theory without the power set axiom) such that M ∪ { A } ⊆ N M \cup \{ A\} \subseteq N . It is also proved that certain classes of extensions of M M obtained by Cohen generic reals have no minimal model.
Journal of Combinatorial Theory, Series A, 1990
We determine the minimal number of yes-no queries sufficient to find an unknown integer between 1... more We determine the minimal number of yes-no queries sufficient to find an unknown integer between 1 and n if at most two of the answers may be erroneous. This solves completely the problem of Ulam on searching with two lies, partially solved by Czyzowicz, Mundici, and Pelt. Their solution applied only to the case when n is a power of 2.
Uploads
Papers by Wojciech Guzicki