This chapter deals with the dynamics of structures in the context of the finite element method. I... more This chapter deals with the dynamics of structures in the context of the finite element method. It starts with some basic concepts as the kinematics of dynamic systems, mass, and damping forces and leads to the equations of motion of a finite element system. The solution of the equations of motion is treated for free vibrations as well as for vibrations excited by forces or base motion. For free undamped vibration, the concept of eigenmodes and eigenfrequencies is discussed. Forced vibrations are treated for harmonic and for general dynamic excitation. As computational methods, the direct integration in time domain, the solution in frequency domain, and the modal analysis are outlined. A special focus is on earthquake-excited vibrations. In addition to the computational methods mentioned before, the response spectrum analysis is examined. The modeling of structures for dynamic analysis is treated in the last section. In this context, different types of damping such as viscous, hysteretic, modal, and Rayleigh damping are discussed. The influence of the discretization in time and frequency domains is examined. Methods to consider dynamic soil–structure interaction are presented. Different types of modeling buildings for earthquake analyses are examined and demonstrated on an example of a beam model and a three-dimensional building model with and without dynamic soil–structure interaction. A final example demonstrates the accuracy achievable with a finite element analysis by validation of the previously computed vibrations of a building due to an impact in a double-blind test.
Bodenplatten werden i. d. R. mit dem Bettungsmodulverfahren berechnet. Dessen wesentlicher Vortei... more Bodenplatten werden i. d. R. mit dem Bettungsmodulverfahren berechnet. Dessen wesentlicher Vorteil liegt in der Einfachheit der Modellbildung. Die Defizite des Verfahrens sind aber auch hinlänglich bekannt. In den im konstruktiven Ingenieurbau verwendeten Finite‐Element‐Programmen stehen heute durchaus mechanisch konsistentere Verfahren wie das Steifemodulverfahren oder die Modellierung des Baugrunds mit Volumenelementen zur Verfügung. Anhand einer Parameterstudie mit einer rechteckförmigen Bodenplatte werden die Ergebnisse des Bettungsmodulverfahrens mit denjenigen des Steifemodulverfahrens für typische Belastungsarten und Bodenarten verglichen und bewertet. Es zeigt sich, dass die Ergebnisse des Bettungsmodulverfahrens i. d. R. auf der sicheren Seite liegen, d. h. die Biegemomente in der Bodenplatte überschätzen. Dies ist aber nicht immer – insbesondere nicht bei Flächenlasten – der Fall.Anhand des Beispiels einer Bodenplatte mit linienartigen Wandlasten und Einzellasten durch Stü...
Arbeitsblatter sind die grundlegenden Dokumente in Mathcad. In den Teilen IV und V werden profess... more Arbeitsblatter sind die grundlegenden Dokumente in Mathcad. In den Teilen IV und V werden professionelle Mathcad-Arbeitsblatter vorgestellt. Analysiert man diese Arbeitsblatter, dann stellt man fest, dass sie immer wieder bestimmte Objekte enthalten. Die wichtigsten Objekte, in Mathcad auch als Bereiche bezeichnet, werden in diesem Teil kurz und ubersichtlich vorgestellt. Weiterhin wird gezeigt, wie mit einem Teil der Objekte ein einfaches Mathcad- Arbeitsblatt entworfen und realisiert werden kann. Fur weitergehende Informationen wird auf das Mathcad-Handbuch [2-1] und die Hilfefunktion verwiesen.
Die Verbindung von Statik und Rechnen ist offensichtlich. Fur Konrad Zuse, dem Erfinder des erste... more Die Verbindung von Statik und Rechnen ist offensichtlich. Fur Konrad Zuse, dem Erfinder des ersten funktionsfahigen Computers, war gar die Notwendigkeit zur Durchfuhrung statischer Berechnungen der Anlass, sich mit der maschinellen Losung numerischer Berechnungen zu befassen [5-1]. Heute stehen leistungsfahige Computerprogramme fur fast alle in der Tragwerksplanung anzutreffenden Standardprobleme zur Verfugung. Diese Programme sind zwar fur die tagliche Routinearbeit bestens geeignet, sie ermoglichen es aber nicht mehr die Berechnungsablaufe nachzuvollziehen und bei Bedarf zu andern. Dies ist aber bei Arbeitsblattern von Computeralgebrasystemen der Fall.
Mit dem Eurocode 2 sind in Deutschland erstmalig Berechnungsverfahren im Rahmen des technischen R... more Mit dem Eurocode 2 sind in Deutschland erstmalig Berechnungsverfahren im Rahmen des technischen Regelwerks zugelassen, die von der Nichtlinearität des Werkstoffs Stahlbeton bei der statischen Berechnung des Gesamttragwerks Gebrauch machen. Bisher erfolgte zwar die Bemessung der Querschnitte auf der Grundlage der nichtlinearen Stoffgesetze von Stahl und Beton, die Schnittgrößen am Gesamttragwerk wurden aber nach der Elastizitätstheorie ermittelt. Damit konnten Lastumlagerungen und die damit verbundene realitätsnähere Erfassung der Traglast des Systems bis auf wenige Ausnahmen nicht berücksichtigt werden. Für Stahlbetonplatten erlaubt der EC 2 folgende Berechnungsverfahren (T1, 2.5.3.5.3): -Lineare Berechnung nach der Elastizitätstheorie mit oder ohne nachfolgende Umlagerung von Schnittgrößen -Berechnung nach der Plastizitätstheorie, die entweder auf dem kinematischen Verfahren (Bruchlinientheorie) oder auf dem statischen Verfahren (Streifenverfahren) beruht -Numerische Berechnung unter Berücksichtigung der nichtlinearen Baustoffeigenschaften. Die lineare Berechnung ohne Umlagerung entspricht der bisherigen Vorgehensweise nach der Ela-Die nach EC 2 zugelassene Bruchlinientheorie ist ein einfaches Berechnungsverfahren, mit dem sich der Versagenszustand von Stahlbetonplatten behandeln läßt. Es werden die grundlegenden Formeln in einer für die Programmierung geeigneten allgemeinen Form angegeben. Sie lassen sich für Platten mit rechteckwinkliger Berandung und orthogonaler Bewehrung für die Handrechnung vereinfachen. Anhand von Berechnungsbeispielen werden die Anwendung des Verfahrens sowie einige Eigenschaften verdeutlicht. Weiterhin werden Empfehlungen zu sinnvollen Annahmen der Bemessungskennwerte in der Praxis sowie Hinweise für eine pragmatische und effiziente Bemessung von Platten nach der Bruchlinientheorie gegeben. Practical aspects of application of the yield line theory. Yield line theory is an elementary method for ultimate load design of RC-slabs, which recently has been permitted in Germany by Eurocode 2 for practical application. The underlying formulations and basic equations are presented in a form that is suitable for computer programming. A simplified approach for rectangular plates with orthogonal reinforcement, convenient to routine analysis and for hand calculations is presented. The methodology of the proposed technique is demonstrated by design examples. Design parameters are recommended for practical application and guidelines are provided for pragmatic and efficient design of RC slabs using the proposed method. Fachthemen 80
Von diesen Varianten wird die erste im Folgenden naher erlautert. Die Varianten 2 bis 4 werden im... more Von diesen Varianten wird die erste im Folgenden naher erlautert. Die Varianten 2 bis 4 werden im Teil III dieses Buches behandelt.
Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1985
Solutions for the displacements caused by dynamic loads in a viscoelastic transversely‐isotropic ... more Solutions for the displacements caused by dynamic loads in a viscoelastic transversely‐isotropic medium are derived. The medium extends horizontally to infinity, but is bounded below by a rigid base. Stratification of the medium presents no difficulties. The medium is discretized in the vertical direction only; discretization in the horizontal direction is obviated by use of analytical solutions to the equations of motion.Application of the displacement solutions to soil‐structure interaction is illustrated. A soil flexibility matrix (and hence, a stiffness matrix) for a surface foundation follows directly from the displacement solutions. A simple modification to obtain the soil stiffness for an embedded foundation of arbitrary geometry is described. Stiffnesses of rigid surface and embedded foundations are computed and compared with previously published results. In addition, the dynamic stiffness of a rigid surface foundation on a soil layer with linearly increasing shear modulus i...
Vibrationen pflanzen sich in festen, flussigen und gasformigen Medien in Form von Wellen, z. B. a... more Vibrationen pflanzen sich in festen, flussigen und gasformigen Medien in Form von Wellen, z. B. als Schall- oder Schwingungsenergie, fort. Die der Wellenfortpflanzung zugrunde liegende Physik hat in der Bautechnik im Schall-, Larm- und Erschutterungsschutz auf der einen und in der Bauakustik auf der anderen Seite Bedeutung. Im ersten Falle geht es darum, die Lastigkeit storender Schall-, Larmund Erschutterungsquellen aktiv oder passiv zu dammen (Bauphysik), im anderen, die Horbarkeit von Sprache und Musik in geschlossenen und offenen Raumen in definierter Weise zu beeinflussen (Bauakustik).
This chapter deals with the dynamics of structures in the context of the finite element method. I... more This chapter deals with the dynamics of structures in the context of the finite element method. It starts with some basic concepts as the kinematics of dynamic systems, mass, and damping forces and leads to the equations of motion of a finite element system. The solution of the equations of motion is treated for free vibrations as well as for vibrations excited by forces or base motion. For free undamped vibration, the concept of eigenmodes and eigenfrequencies is discussed. Forced vibrations are treated for harmonic and for general dynamic excitation. As computational methods, the direct integration in time domain, the solution in frequency domain, and the modal analysis are outlined. A special focus is on earthquake-excited vibrations. In addition to the computational methods mentioned before, the response spectrum analysis is examined. The modeling of structures for dynamic analysis is treated in the last section. In this context, different types of damping such as viscous, hysteretic, modal, and Rayleigh damping are discussed. The influence of the discretization in time and frequency domains is examined. Methods to consider dynamic soil–structure interaction are presented. Different types of modeling buildings for earthquake analyses are examined and demonstrated on an example of a beam model and a three-dimensional building model with and without dynamic soil–structure interaction. A final example demonstrates the accuracy achievable with a finite element analysis by validation of the previously computed vibrations of a building due to an impact in a double-blind test.
Bodenplatten werden i. d. R. mit dem Bettungsmodulverfahren berechnet. Dessen wesentlicher Vortei... more Bodenplatten werden i. d. R. mit dem Bettungsmodulverfahren berechnet. Dessen wesentlicher Vorteil liegt in der Einfachheit der Modellbildung. Die Defizite des Verfahrens sind aber auch hinlänglich bekannt. In den im konstruktiven Ingenieurbau verwendeten Finite‐Element‐Programmen stehen heute durchaus mechanisch konsistentere Verfahren wie das Steifemodulverfahren oder die Modellierung des Baugrunds mit Volumenelementen zur Verfügung. Anhand einer Parameterstudie mit einer rechteckförmigen Bodenplatte werden die Ergebnisse des Bettungsmodulverfahrens mit denjenigen des Steifemodulverfahrens für typische Belastungsarten und Bodenarten verglichen und bewertet. Es zeigt sich, dass die Ergebnisse des Bettungsmodulverfahrens i. d. R. auf der sicheren Seite liegen, d. h. die Biegemomente in der Bodenplatte überschätzen. Dies ist aber nicht immer – insbesondere nicht bei Flächenlasten – der Fall.Anhand des Beispiels einer Bodenplatte mit linienartigen Wandlasten und Einzellasten durch Stü...
Arbeitsblatter sind die grundlegenden Dokumente in Mathcad. In den Teilen IV und V werden profess... more Arbeitsblatter sind die grundlegenden Dokumente in Mathcad. In den Teilen IV und V werden professionelle Mathcad-Arbeitsblatter vorgestellt. Analysiert man diese Arbeitsblatter, dann stellt man fest, dass sie immer wieder bestimmte Objekte enthalten. Die wichtigsten Objekte, in Mathcad auch als Bereiche bezeichnet, werden in diesem Teil kurz und ubersichtlich vorgestellt. Weiterhin wird gezeigt, wie mit einem Teil der Objekte ein einfaches Mathcad- Arbeitsblatt entworfen und realisiert werden kann. Fur weitergehende Informationen wird auf das Mathcad-Handbuch [2-1] und die Hilfefunktion verwiesen.
Die Verbindung von Statik und Rechnen ist offensichtlich. Fur Konrad Zuse, dem Erfinder des erste... more Die Verbindung von Statik und Rechnen ist offensichtlich. Fur Konrad Zuse, dem Erfinder des ersten funktionsfahigen Computers, war gar die Notwendigkeit zur Durchfuhrung statischer Berechnungen der Anlass, sich mit der maschinellen Losung numerischer Berechnungen zu befassen [5-1]. Heute stehen leistungsfahige Computerprogramme fur fast alle in der Tragwerksplanung anzutreffenden Standardprobleme zur Verfugung. Diese Programme sind zwar fur die tagliche Routinearbeit bestens geeignet, sie ermoglichen es aber nicht mehr die Berechnungsablaufe nachzuvollziehen und bei Bedarf zu andern. Dies ist aber bei Arbeitsblattern von Computeralgebrasystemen der Fall.
Mit dem Eurocode 2 sind in Deutschland erstmalig Berechnungsverfahren im Rahmen des technischen R... more Mit dem Eurocode 2 sind in Deutschland erstmalig Berechnungsverfahren im Rahmen des technischen Regelwerks zugelassen, die von der Nichtlinearität des Werkstoffs Stahlbeton bei der statischen Berechnung des Gesamttragwerks Gebrauch machen. Bisher erfolgte zwar die Bemessung der Querschnitte auf der Grundlage der nichtlinearen Stoffgesetze von Stahl und Beton, die Schnittgrößen am Gesamttragwerk wurden aber nach der Elastizitätstheorie ermittelt. Damit konnten Lastumlagerungen und die damit verbundene realitätsnähere Erfassung der Traglast des Systems bis auf wenige Ausnahmen nicht berücksichtigt werden. Für Stahlbetonplatten erlaubt der EC 2 folgende Berechnungsverfahren (T1, 2.5.3.5.3): -Lineare Berechnung nach der Elastizitätstheorie mit oder ohne nachfolgende Umlagerung von Schnittgrößen -Berechnung nach der Plastizitätstheorie, die entweder auf dem kinematischen Verfahren (Bruchlinientheorie) oder auf dem statischen Verfahren (Streifenverfahren) beruht -Numerische Berechnung unter Berücksichtigung der nichtlinearen Baustoffeigenschaften. Die lineare Berechnung ohne Umlagerung entspricht der bisherigen Vorgehensweise nach der Ela-Die nach EC 2 zugelassene Bruchlinientheorie ist ein einfaches Berechnungsverfahren, mit dem sich der Versagenszustand von Stahlbetonplatten behandeln läßt. Es werden die grundlegenden Formeln in einer für die Programmierung geeigneten allgemeinen Form angegeben. Sie lassen sich für Platten mit rechteckwinkliger Berandung und orthogonaler Bewehrung für die Handrechnung vereinfachen. Anhand von Berechnungsbeispielen werden die Anwendung des Verfahrens sowie einige Eigenschaften verdeutlicht. Weiterhin werden Empfehlungen zu sinnvollen Annahmen der Bemessungskennwerte in der Praxis sowie Hinweise für eine pragmatische und effiziente Bemessung von Platten nach der Bruchlinientheorie gegeben. Practical aspects of application of the yield line theory. Yield line theory is an elementary method for ultimate load design of RC-slabs, which recently has been permitted in Germany by Eurocode 2 for practical application. The underlying formulations and basic equations are presented in a form that is suitable for computer programming. A simplified approach for rectangular plates with orthogonal reinforcement, convenient to routine analysis and for hand calculations is presented. The methodology of the proposed technique is demonstrated by design examples. Design parameters are recommended for practical application and guidelines are provided for pragmatic and efficient design of RC slabs using the proposed method. Fachthemen 80
Von diesen Varianten wird die erste im Folgenden naher erlautert. Die Varianten 2 bis 4 werden im... more Von diesen Varianten wird die erste im Folgenden naher erlautert. Die Varianten 2 bis 4 werden im Teil III dieses Buches behandelt.
Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1985
Solutions for the displacements caused by dynamic loads in a viscoelastic transversely‐isotropic ... more Solutions for the displacements caused by dynamic loads in a viscoelastic transversely‐isotropic medium are derived. The medium extends horizontally to infinity, but is bounded below by a rigid base. Stratification of the medium presents no difficulties. The medium is discretized in the vertical direction only; discretization in the horizontal direction is obviated by use of analytical solutions to the equations of motion.Application of the displacement solutions to soil‐structure interaction is illustrated. A soil flexibility matrix (and hence, a stiffness matrix) for a surface foundation follows directly from the displacement solutions. A simple modification to obtain the soil stiffness for an embedded foundation of arbitrary geometry is described. Stiffnesses of rigid surface and embedded foundations are computed and compared with previously published results. In addition, the dynamic stiffness of a rigid surface foundation on a soil layer with linearly increasing shear modulus i...
Vibrationen pflanzen sich in festen, flussigen und gasformigen Medien in Form von Wellen, z. B. a... more Vibrationen pflanzen sich in festen, flussigen und gasformigen Medien in Form von Wellen, z. B. als Schall- oder Schwingungsenergie, fort. Die der Wellenfortpflanzung zugrunde liegende Physik hat in der Bautechnik im Schall-, Larm- und Erschutterungsschutz auf der einen und in der Bauakustik auf der anderen Seite Bedeutung. Im ersten Falle geht es darum, die Lastigkeit storender Schall-, Larmund Erschutterungsquellen aktiv oder passiv zu dammen (Bauphysik), im anderen, die Horbarkeit von Sprache und Musik in geschlossenen und offenen Raumen in definierter Weise zu beeinflussen (Bauakustik).
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