Schwarzschild-sugár

A Schwarzschild-sugár, más néven gravitációs sugár minden tömeggel rendelkező testre megállapítható távolságérték. Egy test Schwarzschild-sugara az ugyanannyi teljes energiájú, gömbszimmetrikus fekete lyuk eseményhorizontjának a sugara. Égitestek tömegének alternatív mértékegységeként is alkalmazható.

Nevét Karl Schwarzschild német fizikusról kapta, aki 1916-ban találta meg az Einstein-egyenletek első egzakt megoldását, a Schwarzschild megoldást. Az általa vizsgált téridő-geometriának van egy koordináta-szingularitása, amely egy gömbfelület, ennek a sugarát nem sokkal halála után róla nevezték el.

Kiszámítása:

$r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}$

ahol

$r_{s}$ a Schwarzschild-sugár

$G$ a gravitációs állandó

$m$ a test tömege

$c$ a fénysebesség értéke vákuumban.

A 2G/c² közelítő értéke 1,48 × 10⁻²⁷ m/kg. Ha ezt $S$-sel jelöljük, akkor $r_{s}$ = $m$·$S$ méter.

Példák a Naprendszerből

Égitest	$Gm\quad \left[{\frac {\mathrm {m} ^{3}}{\mathrm {s} ^{2}}}\right]$	$r_{s}\quad \left[\mathrm {m} \right]$
Nap	$1{,}32712440018\cdot 10^{20}$	$2{,}9532500765\cdot 10^{3}$
Merkúr	$2{,}2032\cdot 10^{13}$	$4{,}9028\cdot 10^{-4}$
Vénusz	$3{,}24859\cdot 10^{14}$	$7{,}2291\cdot 10^{-3}$
Föld	$3{,}986004418\cdot 10^{14}$	$8{,}870056078\cdot 10^{-3}$
Hold	$4{,}902800582\cdot 10^{13}$	$1{,}091020268\cdot 10^{-4}$
Mars	$4{,}2828\cdot 10^{13}$	$9{,}5305\cdot 10^{-4}$
Jupiter	$1{,}26686534\cdot 10^{17}$	$2{,}81915558\,$
Szaturnusz	$3{,}7931187\cdot 10^{16}$	$0{,}84408275\,$
Uránusz	$5{,}793947\cdot 10^{15}$	$0{,}1289327\,$
Neptunusz	$6{,}836529\cdot 10^{15}$	$0{,}1521333\,$

A definíció értelmében ha egy égitest sugara kisebb, mint az ő tömegéhez tartozó Schwarzschild-sugár, akkor az égitest felszíne a saját eseményhorizont-gömbjén belülre került, vagyis a felszínről való eltávolodáshoz már a fénysebesség is kevés, azaz az égitest egy fekete lyuk.

A táblázat szerint ehhez a Nap teljes tömegét kb. 3 kilométer sugarú gömbbé kellene összepréselni. Hogy a saját gravitációja ehhez közel sem elég, azt mutatja az, hogy a Nap gömbjének sugara jelenleg 700 ezer kilométer.

Ahhoz, hogy a Földet fekete lyukká változtassuk, kb. 9 mm sugarú, vagy annál kisebb golyóvá kellene a teljes tömegét összenyomni, a Jupiter esetében – melynek a tömege bolygónk 318-szorosa – ez a kritikus sugár kb. 2,8 m. Ezeknek a helyzeteknek a létrehozása persze jelen ismereteink szerint kivitelezhetetlen.

A számítás természetesen visszafelé is elvégezhető. Az itt látható fantáziarajzon a fekete gömb az annak közepén levő, ismeretlen méretű égitest által létrehozott eseményhorizont gömbje. Ha lehetőségünk volna a gömb sugarát megmérni, akkor megmondhatnánk az ehhez a Schwarzschild-sugárhoz tartozó tömeg, az ezt a fekete lyukat létrehozó égitest tömegének értékét. (Megjegyzendő, hogy ennek az értéknek a megállapítására más, nagy távolságból is alkalmazható lehetőségek is vannak.)

Irodalomjegyzék

• Hraskó Péter: Relativitáselmélet (Typotex, 2002) ISBN 963-9326-30-5, hibajegyzék
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet (Akadémiai, 2006) ISBN 9630584239
• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie (Elsevier GmbH, München, 2006) ISBN 3-8274-1685-X, ISBN 978-3-8274-1685-8 (németül)
• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit (Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden, 2008) ISBN 978-3-8348-0468-6 (németül)