Ugrás a tartalomhoz

Hiperbola (matematika)

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hiperbola
Hiperbola

A matematikában hiperbolának azokat a kúpszeleteket nevezik, amelyek úgy jönnek létre, hogy a végtelen kettős kúpot (forgáskúpot) metsző sík mindkét félkúpot metszi (a síknak a kúp tengelyével bezárt szöge kisebb, mint a kúp félnyílásszöge és a metsző síkra nem illeszkedik a kúp csúcsa).

A hiperbola úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól (fókusz- vagy gyújtópontoktól) való távolságának különbségének abszolút értéke állandó. A két definíció azonosságának bizonyítását lásd a Dandelin-gömböknél.

A hiperbola a kétdimenziós Descartes-koordináta-rendszerben az alábbiakkal is definiálható:

és ,

ahol az összes együttható (A,…,F) valós, és több, mint egy (x,y) megoldás létezik. Ekkor ezek az (x,y) megoldások adják meg (koordinátaként) a hiperbola pontjait.

Hiperbola
Hiperbola
Konjugált hiperbolák

Definíciók

[szerkesztés]
  • A hiperbola a fentieken kívül úgy is definiálható, hogy azon pontok halmaza, melyeknek egy adott ponttól (egyik fókusztól) való távolsága és egy egyenestől (direktrixtől vagy vezéregyenestől) való távolsága hányadosa állandó és nagyobb 1-nél. Ez az állandó a hiperbola excentricitása.
  • A hiperbola másik, már említett definíciója: Azon pontok mértani helye, melyek a két fókuszponttól való távolságuk különbségének abszolút értéke állandó. Az ábra jelöléseivel:
.

A fókuszpontok a hiperbola egyik szimmetriatengelyén fekszenek, a köztük lévő távolság felezőpontját a hiperbola középpontjának nevezzük, a másik szimmetriatengely az elsőre a középponton átmenő merőleges egyenes.

A hiperbolának két, egymást nem metsző és nem érintő ága van. Minden határon túl növekvő távolságra fókuszoktól a hiperbola egy egyeneshez tart, melyet aszimptotának hívnak.

Konjugált hiperboláknak azokat nevezik, melyeknek aszimptotái megegyeznek, csak az aszimptoták különböző oldalain helyezkednek el.

A konjugált hiperbola speciális esete az egyenlő szárú vagy egyenlő oldalú hiperbola, melynél az aszimptoták által bezárt szög derékszög. Annak az egyenlő szárú hiperbolának az egyenlete, melynek aszimptotái a koordinátatengelyekre esnek: xy=c, ahol c állandó.

Ahogy a szinusz és koszinusz függvényekkel az ellipszis egy parametrikus egyenletrendszerét lehet felírni, a szinusz hiperbolikusz és koszinusz hiperbolikusz függvények a hiperbola parametrikus egyenletrendszerét adják.

Egyenletek

[szerkesztés]

Descartes koordinátákkal

[szerkesztés]

Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

Mindkét képletben (h,k) a hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely (a két ág közötti távolság fele) és b a fél-kistengely. Megjegyezzük, hogy b lehet nagyobb, mint a.

Az excentricitás:

A kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola fókuszpontjai:

és ugyanez észak-dél irányban nyitott hiperbolára:

ahol

Egyenlő szárú hiperbolák egyenlete, melyek aszimptotái párhuzamosak a koordináta tengelyekkel:

Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

Északkelet-délnyugat irányban nyitott hiperbola

Északnyugat-délkelet irányban nyitott hiperbola

Az összes egyenletben a középpont az origóban van és a a fél-nagytengely.

Parametrikus egyenletek

[szerkesztés]

Kelet–nyugat irányban nyitott hiperbola:

vagy
vagy

Észak-dél irányban nyitott hiperbola

vagy
vagy

Mindkét egyenletben (h,k) hiperbola középpontja, a a fél-nagytengely, b a fél-kistengely.

Források

[szerkesztés]
  • I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987.)
  • Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet (Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1961.)

További információk

[szerkesztés]
Commons:Category:Hyperbolas
A Wikimédia Commons tartalmaz Hiperbola (matematika) témájú médiaállományokat.

Kapcsolódó szócikkek

[szerkesztés]