Euler-szorzat

A számelméletben az Euler-szorzat a Dirichlet-sor prímszámokkal indexelt kiterjesztése a végtelenbe. Az elnevezés abból ered, hogy a Riemann-féle zéta-függvény esetét Euler tanulmányozta, és ő bizonyította be annak végtelen szorzat reprezentációját.

Definíció

Általában, ha az a függvény multiplikatív, akkor a

$\sum _{n}a(n)n^{-s}\,$

Dirichlet-sor egyenlő a következővel:

$\prod _{p}P(p,s)\,$

ahol a szorzatot a prímek fölött veszik, és $P(p,s)$ éppen az

$1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .$

összeg.

Hogyha ezeket formális generátorfüggvénynek tekintjük, akkor adódik, hogy egy efféle formális Euler-szorzat kiterjesztése szükséges és elégséges feltétele az a függvény multiplikativitásának. Eszerint $a(n)$ azoknak a különböző $a(p^{k})$ értékeknek szorzata, ahol p prímosztója n-nek, és n prímtényezős felbontásában p éppen k-szor szerepel.

Speciálisan, ha $a(n)$ teljesen multiplikatív, akkor $P(p,s)$ egy mértani sor. Ekkor

$P(p,s)={\frac {1}{1-a(p)p^{-s}}},$

mint a Riemann-féle zéta-függvény esete, és általánosabban, a Dirichlet-karakterek esetén.

Konvergencia

A gyakorlatban a végtelen soroknak azok a speciális esetei érdekesek, amikor a sor abszolút konvergens. Ezen a tartományon a sor összege nem lehet nulla, így itt a tényezők sem lehetnek nullák.

A moduláris formák tétele szerint tipikus, hogy itt a nevezők másodfokú polinomok. Az általános Langlands-elmélet tartalmaz egy hasonló fejtegetést az m-edfokú polinomokkal kapcsolatban, és a reprezentációelmélet is hasonlót mond GL_m-ről.

Példák

A Riemann-féle zéta-függvényhez kapcsolódó Euler-szorzat a mértani sor összegének felhasználásával

$\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1}=\prod _{p}{\Big (}\sum _{n=0}^{\infty }p^{-ns}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)$.

A $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ Liouville-függvényre

$\prod _{p}(1+p^{-s})^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}$

Reciprokaikat felhasználva a $\mu (n)$ Möbius-függvény két Euler-szorzata

$\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$

és

$\prod _{p}(1+p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}$

A kettő hányadosa:

$\prod _{p}{\Big (}{\frac {1+p^{-s}}{1-p^{-s}}}{\Big )}=\prod _{p}{\Big (}{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}{\Big )}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

Mivel páros számokra a Riemann-féle zéta-függvény értéke $\pi ^{s}$ és egy racionális szám szorzata, ez a végtelen szorzat racionális számot ad értékül páros hatványokra. Például, mivel $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$, $\zeta (4)=\pi ^{4}/90$, és $\zeta (8)=\pi ^{8}/9450$,

$\prod _{p}{\Big (}{\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}{\Big )}={\frac {5}{2}}$

$\prod _{p}{\Big (}{\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}{\Big )}={\frac {7}{6}}$

és így tovább, ami Ramanudzsan első eredménye. Ez a végtelen szorzat a következővel is ekvivalens:

$\prod _{p}(1+2p^{-s}+2p^{-2s}+\cdots )=\sum _{n=1}^{\infty }2^{\omega (n)}n^{-s}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

ahol $\omega (n)$ az n különböző prímosztóinak számát jelöli. és $2^{\omega (n)}$ a négyzetmentes osztók száma.

Hogyha $\chi (n)$ az N konduktor Dirichlet-karaktere, akkor $\chi$ teljesen multiplikatív, és $\chi (n)$ csak n maradékosztályától függ modulo N, és $\chi (n)=0$ akkor és csak akkor, ha n nem relatív prím. Ekkor

$\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)n^{-s}$.

Itt kényelmesebb elhagyni az N konduktor prímosztóit a szorzatból. Ramanudzsan megpróbálta általánosítani az Euler-szorzatot a zéta-függvényre:

$\prod _{p}(x-p^{-s})\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}$

minden $s>1$-re, ahol $\operatorname {Li} _{s}(x)$ a polilogaritmus. $x=1$-re a fenti szorzat nem más, mint $1/\zeta (s).$

Ismert konstansok

Sok ismert konstansnak van Euler-szorzatos kifejtése:

A Leibniz-formula a π-re:

$\pi /4=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ,$

értelmezhető Dirichlet-sorként az egyetlen modulo 4 Dirichlet-karakter segítségével, és szuperpartikuláris arányok Dirichlet-szorzatává alakítható:

$\pi /4=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,$

ahol minden számláló prím, és a nevező a legközelebbi néggyel osztható szám.

További Euler-szorzatok:

Ikerprím-konstans:

$\prod _{p>2}{\Big (}1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}{\Big )}=0,660161...$

Landau-Ramanudzsan-konstans:

${\frac {\pi }{4}}\prod _{p=1\,{\text{mod}}\,4}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\Big )}^{1/2}=0,764223...$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p=3\,{\text{mod}}\,4}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\Big )}^{-1/2}=0,764223...$

Murata-konstans (A065485 sorozat az OEIS-ben):

$\prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{(p-1)^{2}}}{\Big )}=2,826419...$

Erősen gondtalan konstans $\times \zeta (2)^{2}$  A065472:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{(p+1)^{2}}}{\Big )}=0,775883...$

Artin-konstans  A005596:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p(p-1)}}{\Big )}=0,373955...$

Landau-konstans  A082695:

$\prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{p(p-1)}}{\Big )}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1,943596...$

Gondtalan konstans $\times \zeta (2)$  A065463:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p(p+1)}}{\Big )}=0,704442...$

Reciproka  A065489:

$\prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}{\Big )}=1,419562...$

Feller-Tornier-konstans  A065493:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {2}{p^{2}}}{\Big )}=0,661317...$

Kvadratikus osztályszám konstans  A065465:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}{\Big )}=0,881513...$

Totient összegzési konstans  A065483:

$\prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}{\Big )}=1,339784...$

Gondtalan konstans  A065464:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}{\Big )}=0,428249...$

Erősen gondtalan konstans  A065473:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}{\Big )}=0,286747...$

Stephens-konstans:  A065478:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {p}{p^{3}-1}}{\Big )}=0,575959...$

Barban-konstans:  A175640:

$\prod _{p}{\Big (}1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)(p^{2}-1)}}{\Big )}=2,596536...$

Heath-Brown–Moroz-konstans  A118228:

$\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p}}{\Big )}^{7}{\Big (}1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}{\Big )}=0,0013176...$

Források

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3* G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"