Kváziaritmetikai közép

Legyen $I\subseteq \mathbb {R}$ intervallum, $a,b\in I$ valós számok, $f:I\to \mathbb {R}$ intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor az $a$ és $b$ számok $f$-re vonatkozó kváziaritmetikai közepe a következő, $A_{f}$-fel jelölt szám:

$A_{f}(a,b)\ :=\ f^{-1}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right)$

Hasonlóan, ha adottak az $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ∈ $I$ számok, akkor ezek $f$-re vonatkozó függvényközepe

$A_{f}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\ :=\ f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)$

Az $f$ függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.

A kváziaritmetikai közép a hatványközepek általánosítása, $f(x)=x^{p}$ esetén visszakapjuk a hatványközepeket.

Megjegyzés: a kváziaritmetikai közép értelmezhető a valós számokon kívül más objektumokra is például vektorokra. Ekkor azt kell feltenni, hogy $f$ értelmezési tartománya $\mathbb {R} ^{n}$ egy összefüggő részhalmaza.

Nevezik Kolmogorov-középnek is, az orosz Andrej Kolmogorov után.

Tulajdonságok

Jóldefiniáltság

Először azt kell belátnunk, hogy a definícióban szereplő formulák jóldefiniáltak. Ilyen feltételek mellett $f$ két értéke között minden értéket felvesz és szigorúan monoton. Ekkor

${\frac {f(a)+f(b)}{2}}$ és ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})$

az $f$ ($a$) és $f$ ($b$) illetve az legkisebb f($x_{i}$) és legnagyobb f($x_{i}$) közé esik, így beleesnek a képhalmazba, azaz f ⁻¹ értelmezve van rajtuk.

Összefüggés az absztrakt átlagokkal

Az absztrakt „átlag” fogalmának többféle ismert axiomatikus felépítése létezik. A fent definiált kvázi-aritmetikai közepek teljesítik az „átlag” leggyakrabban megkövetelt tulajdonságait, úgymint:

A következő tulajdonságokat, az ún. középérték-axiómákat:

• Cauchy középérték-axiómája:: $\min \left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$ $\leq$ $A_{f}\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$ $\leq$ $\max \left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$

Hiszen ha $m$-mel jelöljük az $x_{i}$-k közül a legkisebbet és $M$-mel a legnagyobbat, akkor teljesül $m$ ≦ $x_{i}$ ≦ $M$. Ha $f$ szig. mon. nő, akkor ebből f(m) ≦ f($x_{i}$) ≦ f(M) következik és mivel a számtani közép a legkisebb és legnagyobb érték közé esik, ezért ebből és az inverz ugyanilyen irányú szigorú monotonitásából következik az az egyenlőtlenség, amit be kellett látnunk. Ha f szigorú monoton csökken, akkor $m$ ≦ $x_{i}$ ≦ $M$-ből f(M) ≦ f($x_{i}$) ≦ f(m) következik, majd ebből szintén az inverz csökkenő tulajdonságából az állítás.

• Szimmetria-axióma: $A_{f}\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)=A_{f}\left(y_{1},y_{2},...,y_{n}\right)$, ha a $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ elemrendszernek $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ egy permutációja; vagyis a változók értékeinek cserélgetése a középértéket nem változtatja

Ez a tétel a számtani közép ugyanilyen tulajdonságából következik.

Egyéb tulajdonságok

Ha $m$-mel jelöljük az $x_{i}$-k közül a legkisebbet, akkor

• $m=A_{f}\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$ akkor és csak akkor teljesül, ha x₁ = x₂ = … = x_n.

Ugyanis, ha a számok egyenlők, akkor a közép egyenlő bármelyikükkel (hiszen ekkor $A_{f}(x,x,...,x)$ $=$$f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x)\right)$ $=$ $f^{-1}\left({\frac {nf(x)}{n}}\right)$ $=$ $f^{-1}\left(f(x)\right)$ $=$ $x$). Megfordítva, ha a közép a legkisebbik számmal egyenlő, akkor ez az f általi függvényértékekre is igaz; így az $f(x_{i})=y_{i}$ jelöléssel $f(m)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}$, ahol valamely i-re y_i = f(m). f szigorú monotonitása miatt f(m) vagy az f($x_{i}$) számok közül a legkisebb, vagy a legnagyobb. Eszerint egy számtani közép (az y_i-k átlaga) vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb értékkel egyenlő, amiből a számtani közép hasonló tulajdonsága miatt, mint amit itt bizonyítani szeretnénk, következik, hogy a számok egyenlők. Ha az f($x_{i}$)-k egyenlők, akkor az $x_{i}$-k is egyenlők, hiszen f a rá vonatkozó feltételekből következően injektív.

Ez m helyett az M maximummal is igaz.

Megjegyzés: a bizonyításhoz felhasználtuk, hogy a számtani közép rendelkezik a bizonyítandó tulajdonsággal. Ennek az iméntitől független bizonyítását ld. a számtani közép c. cikkben.

• Particionálhatóság: A kváziaritmetikai közép számítható blokkonként: :: $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))$
• A kváziaritmetikai közép nem változik, ha néhány elemet a kváziaritmetikai közepükkel helyettesítünk a multiplicitás megtartásával. Ha

$m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$, akkor

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})$

• Invariáns az f függvény skálázására és eltolására:

$\forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)$.

• Mivel f monoton, azért $M_{f}$ is monoton.
• Kétváltozós esetben teljesülnek a következők:

$M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))$ és

$M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$.

Ezek közül akár egy is egyértelműen jellemzi a kváziaritmetikai közepeket. Lásd Aczél–Dhombres, 17. fejezet.

• Két változó esetén a kváziartitmetikai közép teljesíti a kiegyenlítési tulajdonságot: $M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)$. Érdekes kérdés, hogy ez a tulajdonság a monotonitással, folytonossággal, fixpont tulajdonsággal és a szimmetriával együtt bizonyítja, hogy kváziaritmetikai középről van szó. Erre Georg Aumann az 1930-as években adott választ: általános esetben eldönthetetlen, de lehetséges, ha analitikus függvényről van szó.
• Reguláris esetben a Centrális határeloszlás-tétel is belátható a kváziaritmetikai közepekre. Ez azt jelenti, hogy ${\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}$ approximálja a normális eloszlást.

A Kolmogorov–Nagumo-tétel

A. N. Kolmogorov és Mitio Nagumo 1930-ban, valószínűségeloszlások „átlagértékeit” vizsgálva jutottak a következő axiomatikus definícióra (Kolmogorov–Nagumo–de Finetti-axiómarendszer):

Legyen $T\subseteq \mathbb {R}$ zárt intervallum; $M:\left(\cup _{i=1}^{\infty }T^{i}\right)\rightarrow T$ olyan függvény, amely

1. Rögzített i-re folytonos;
2. Rögzített i-re: minden változójában szigorúan monoton;
3. Rögzített i esetén változóiban szimmetrikus (azok permutációira invariáns)
4. Rögzített i-re reflexív, azaz ha minden változója ugyanazon A értéket veszi fel, a függvény értéke is A;
5. teljesíti a dekompozíciós tulajdonságot, avagy a Bemporad-féle asszociativitást: M(x₁, x₂, … , x_n) = M(x, x, … , x, x_k+1, x_k+2, … , x_n); ahol x = M(x₁, x₂, … , x_n), és 1<k<n-1 és 1<n.

E definíció érdekessége az, hogy amint a két kutató egymástól függetlenül bizonyította; a fenti axiómákat egyetlen függvénycsalád elégíti ki: pontosan a kváziaritmetikai közepek családja. Tehát a fenti axiómarendszer a tetszőleges sok változón értelmezett kváziaritmetikai közepek axiomatikus definíciója. Hasonló eredményekre jutott Kolmogorov nyomán Bruno de Finetti is 1931-ben.

De Finetti mutatott példát olyan, statisztikában használt középféleségekre is, melyek nem aritmetikai közepek – az (antiharmonikus közép a szigorú monotonitást, a medián a Bemporad-asszociativitást nem teljesíti.

Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű/karakterisztikus jellemzése tetszőleges i-változós kváziaritmetikai középnek (i rögzítettségét feltételezve), csak ezek tetszőleges sok változóra egyszerre történő kiterjesztésének. Ha M definícióját úgy módosítjuk, hogy i rögzített legyen, akkor a fenti axiómarendszer nem feltétlenül az i-változós kváziaritmetikai közepet határozza meg.

Homogenitás

A közepektől többnyire elvárják, hogy homogének legyenek, de a legtöbb függvény esetén a kváziaritmetikai közép nem az. Kivétel csak a hatványközepek és a mértani közép homogén. Lásd Hardy–Littlewood–Pólya, 68. oldal.

A homogén tulajdonság elérhető, ha normalizáljuk az adatokat, amiknek a közepét számítjuk:

$M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)$

Ahol $C$ homogén közép. Ez a módszer azonban elronthatja a közép monotonitását vagy particionáló tulajdonságát.

Példák

(A lenti példák közül valamennyi megfelel a kváziaritmetikai közép definíciójában foglalt feltételeknek; értelmezési tartományuk nem-elfajuló – noha nem feltétlenül korlátos – intervallum, melyen szigorúan monotonok és folytonosak (ezáltal, injektívek).

Közép elnevezése	Közép képlete $M(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$	Generátorfüggvény	értelmezés intervalluma
Számtani közép	${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	$f(x)=x$	$\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )$
Négyzetes közép	${\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$	$f(x)=x^{2}$	$\mathbb {R} _{0}^{+}=[0,\infty )$
Harmonikus közép	${\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$	$f(x)={\frac {1}{x}}$	$\mathbb {R} ^{+}=(0,\infty )$
Hatványközép (Hölder-közép)	$\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}$	$f(x)=x^{\alpha }$ $(\alpha \in \mathbb {R} \setminus \{0\})$	$\mathbb {R} _{0}^{+}=[0,\infty )$
Mértani közép	${\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}$	$f(x)=\log _{v}(x)$ $(v\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \{1\})$	$\mathbb {R} ^{+}=(0,\infty )$
Exponenciális közép	${\frac {1}{\alpha }}\ln \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}e^{\alpha x_{i}}\right)$	$f(x)=e^{\alpha x}$ $(\alpha \in \mathbb {R} \setminus \{0\})$	$\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )$

Általánosítások

A kváziaritmetikai közép egy lehetséges általánosítása a súlyozott kváziaritmetikai közép. Legyen $f$ az $\mathbb {R}$ egy nem-elfajuló intervallumán értelmezett s azon szigorúan monoton és folytonos függvény, s legyen $n\in \mathbb {N} ^{+}$, ekkor az $n$-változós súlyozott kváziaritmetikai közép definíciója:

$A_{f,\mathbf {w} }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)$,

ahol $\mathbf {w} =(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n})\in (0,1)^{n}$ és $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ =\ 1$.

Kolmogorov, Nagumo és de Finetti axiómarendszere nem nyújtja egyértelmű jellemzését ennek a bővebb, súlyozott függvénycsaládnak. A negyvenes évek végén Horváth János és Aczél János magyar kutatók vetették fel, hogy a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer némi módosításával a súlyozott kváziaritmetikai közepek is karakterizálhatóak egy függvényegyenlet-rendszerrel. A kilencvenes évek végén ezt a jellemzési problémát sikerült megoldaniuk.

Kapcsolódó szócikkek

• Kvázi-hatványközép

Források

• Réffy Júlia: Közepek és egyenlőtlenségek. Polygon (matematikai, szakdidaktikai közlemények), „Műhelysarok” rovat; XIV. köt. 1. sz. 2005./máj.; 61.-70.
• Daróczy Zoltán, Maksa Gyula, Páles Zsolt: Functional equations involving means and their Gauss composition
• Gheorge Thoader: means and double sequences
• Jean-Luc Marichal: On an axiomatization of the quasi-arithmetic mean values without the symmetry axiom Archiválva 2003. december 5-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
• Andrey Kolmogorov (1930) “On the Notion of Mean”, in “Mathematics and Mechanics” (Kluwer 1991) — pp. 144–146.
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388–391.
• John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Quasi-arithmetic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.