Moyenne quasi-arithmétique

En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou encore moyennes selon une fonction f constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométrique, etc.). Elles sont paramétrées par une fonction f.

Définition

Soit $f$ une fonction d'un intervalle $I\subset \mathbb {R}$ dans les nombres réels, continue et injective.

La moyenne selon la fonction f (ou f - moyenne) des $n$ nombres $x_{1},\dots ,x_{n}\in I$ est définie par $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$, que l'on peut aussi écrire

$M_{f}({\vec {x}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)$

Il est nécessaire que $f$ soit injective pour que son inverse $f^{-1}$ soit définie. Comme $f$ est continue et $I$ est un intervalle, ${\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}$ appartient bien à l'ensemble de définition $f(I)$ de $f^{-1}$, car ce dernier est un intervalle.

Comme $f$ est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon f est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument :

$\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant M_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})$

Exemples

Dans les exemples suivants, $I=\mathbb {R}$, $\mathbb {R} _{+}$ ou $\mathbb {R} _{+}^{*}$.

• Pour $f(x)=ax+b$, la moyenne selon f correspond à la moyenne arithmétique quels que soient $a\neq 0$ et $b$ (voir la propriété d'invariance d'échelle infra).
• Pour $f(x)=\log _{a}x$, la moyenne selon f correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1.
• Pour $f(x)={\frac {1}{x}}$, la moyenne selon f correspond à la moyenne harmonique.
• Pour $f(x)=x^{p}$, la moyenne selon f correspond à la moyenne d'ordre $p$.
• Pour $f(x)=e^{x}$, la $f$-moyenne est une version décalée d'une constante de la fonction LogSumExp (en) : $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\ln(n)$. Le $-\ln(n)$ correspond à la division par $n$.
• Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique .

Propriétés

Les propriétés suivantes sont exactes pour toute fonction $f$ satisfaisant à la définition ci-dessus :

Symétrie : La valeur de $M_{f}$ est invariante par permutation de ses arguments.

Point fixe : $\forall x\in I,M_{f}(x,\dots ,x)=x$.

Croissance : $M_{f}$ est croissante en chacune de ses variables $x_{i}$ (puisque $f$ et $f^{-1}$ sont monotones de même sens).

Continuité : $M_{f}$ est continue en chacune de ses variables (puisque $f$ est continue).

Substitution : n'importe quel ensemble formé par $k$ de ses arguments peut être remplacé par sa $f$-moyenne répétée $k$ fois, sans changer le résultat de la $f$-moyenne globale. Si l'on note $m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})$ on a ainsi:

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ fois}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})$

Partitionnement (ou associativité) : Le calcul de la moyenne selon f peut être séparé en plusieurs calculs de sous-ensembles de même taille :

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{nk})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk}))$

Auto-distributivité : Pour toute moyenne de Kolmogorov $M$ de deux arguments, on a :

$M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))$.

Médialité : Pour toute moyenne de Kolmogorov $M$ de deux arguments, on a :

$M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))$.

Équilibrage : Pour toute moyenne de Kolmogorov $M$ de deux arguments, on a :

$M\left(M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y))\right)=M(x,y)$.

Invariance d'échelle : La moyenne de Kolmogorov est invariante par translation et homothétie de la fonction $f$:

$\forall a,\ \forall b\neq 0,((\forall t,\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x;\ M_{f}(x)=M_{g}(x)$.

Caractérisation

Il existe plusieurs ensembles de propriétés qui caractérisent la moyenne de Kolmogorov (c'est-à-dire que pour toute fonction ${\mathcal {M}}$ satisfaisant ces propriétés, il existe une fonction $f$ telle que ${\mathcal {M}}=M_{f}$).

• La médialité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov.
• L'auto-distributivité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov.
• Kolmogorov a démontré que les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et substitution caractérisent entièrement une moyenne de Kolmogorov .
• Équilibrage: Une question intéressante consiste à savoir si cette propriété peut remplacer celle de substitution parmi les propriétés précédentes, c'est-à-dire si les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et équilibrage suffisent à caractériser une moyenne de Kolmogorov. Georg Aumann (en) a démontré dans les années 1930 que la réponse, en général, est non , mais qu'il suffit d'ajouter l'hypothèse que ${\mathcal {M}}$ soit analytique pour que ce soit le cas.

Homogénéité

Les moyennes sont habituellement homogènes, mais pour presque toutes les fonctions $f$, la moyenne selon f ne l'est pas. En fait, les seules moyennes de Kolmogorov homogènes sont les moyennes d'ordre p (Hardy–Littlewood–Pólya).

La propriété d'homogénéité peut cependant être obtenue en normalisant les arguments par une moyenne (homogène) $C$.

$M_{f,C}(x)=C(x)\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{C(x)}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{C(x)}}\right)}{n}}\right)$

Cependant, cette modification peut violer les propriétés de croissance et de partitionnement.

Espérance selon une fonction

De façon analogue à la moyenne selon une fonction $f$, on définit l'espérance selon $f$ (ou espérance de Kolmogorov) d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $I$ par:

$\mathbb {E} _{f}[X]=f^{-1}\left(\mathbb {E} [f(X)]\right)$.

La moyenne selon $f$ et l'espérance selon $f$ vérifient un théorème central limite : si $\mathbb {E} _{f}[X]$ existe et si $f$ est dérivable en ce point, alors pour toute suite ${(X_{n})}_{n\geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$, la suite de variables aléatoires ${\sqrt {n}}\left(M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-\mathbb {E} _{f}[X]\right)$ converge en loi vers une loi normale.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasi-arithmetic mean » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Andreï Kolmogorov, Selected Works I : Mathematics and Mechanics, Springer, 2019 (ISBN 978-94-010-5347-1), « On the Notion of Mean »
• Andreï Kolmogorov, « Sur la notion de la moyenne », Atti Reale Accademia Nazionale dei Lincei, vol. 12,‎ 1930, p. 388–391
• (en) John Bibby, « Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences », Glasgow Mathematical Journal, vol. 15,‎ 1974, p. 63–65
• (en) G.H. Hardy, J.E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1952.

Articles connexes

• Moyenne d'ordre p
• Inégalité de Jensen
• Moyenne de Stolarsky
• Moyenne de Lehmer