במתמטיקה , פונקציה סתומה היא פונקציה המוגדרת על ידי משוואה , ולא באופן ישיר. לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את הפונקציה באופן מפורש, אבל במקרים רבים ההצגה המפורשת פחות סימטרית מן המשוואה, ואין בה תועלת. משפט הפונקציה הסתומה מספק תנאים לקיומה של פונקציה המוגדרת באופן סתום על ידי מערכת משוואות, ואף מאפשר לחשב את הנגזרות שלה.
לדוגמה, משוואת המעגל
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
y
=
1
−
x
2
{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}
y
=
−
1
−
x
2
{\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}
נגזרת של
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
2
x
+
2
y
y
′
=
0
{\displaystyle 2x+2yy'=0}
y
′
=
−
x
y
{\displaystyle y'=-{\frac {x}{y}}}
עקומים מפורסמים רבים מוגדרים בצורה הפשוטה ביותר על ידי פונקציות סתומות:
הלמניסקטה של ברנולי בקואורדינטות קרטזיות:
(
x
2
+
y
2
)
2
=
a
2
(
x
2
−
y
2
)
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}
בקואורדינטות פולאריות:
r
2
=
a
2
cos
2
θ
{\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\theta }
כאשר
a
{\displaystyle a}
העלה של דקארט בקואורדינטות קרטזיות:
x
3
+
y
3
=
3
a
x
y
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}
בקואורדינטות פולאריות:
r
(
cos
3
θ
+
sin
3
θ
)
=
3
a
sin
θ
cos
θ
{\displaystyle r(\cos ^{3}\theta +\sin ^{3}\theta )=3a\sin \theta \cos \theta }
השבלול של פסקל בקואורדינטות קרטזיות:
(
x
2
+
y
2
+
a
x
)
2
=
b
2
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2})}
בקואורדינטות פולאריות:
(
r
+
a
cos
θ
)
2
=
b
2
{\displaystyle (r+a\cos \theta )^{2}=b^{2}}
הפרח של גראנדי (7 עלים) בקואורדינטות קרטזיות:
(
x
2
+
y
2
)
3
=
4
a
2
x
2
y
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}}
בקואורדינטות פולאריות:
r
=
a
sin
2
θ
{\displaystyle r=a\sin 2\theta }
r
=
cos
(
n
θ
)
{\displaystyle r=\cos(n\theta )}
ישנן מספר שיטות לגזירת פונקציה ומציאת הנגזרת שלה.
לפי גישה אחת המשמשת אותנו למציאת הנגזרת של פונקציה סתומה, נכתוב
y
=
y
(
x
)
{\displaystyle y=y(x)}
d
y
d
x
=
d
y
(
x
)
d
x
=
y
′
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy(x)}{dx}}=y'}
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
x
{\displaystyle x}
x
y
{\displaystyle xy}
y
{\displaystyle y}
d
d
x
(
x
y
)
=
d
x
d
x
y
+
x
d
y
d
x
=
y
+
x
d
y
d
x
=
y
+
x
y
′
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(xy)={\frac {dx}{dx}}y+x{\frac {dy}{dx}}=y+x{\frac {dy}{dx}}=y+xy'}
לפי גישה אחרת, כל משוואה שמתארת פונקציה סתומה ניתן להביא לצורה
F
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle F(x,y)=0}
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
d
F
d
x
=
d
F
d
y
=
0
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}={\frac {dF}{dy}}=0}
d
F
=
0
{\displaystyle dF=0}
הדיפרנציאל השלם של הפונקציה, שעל פי הגדרתו ניתן להצגה בצורה הבאה:
d
F
=
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy}
טרנזיטיביות יחס השוויון מתקיים
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy=0}
d
x
{\displaystyle dx}
∂
F
∂
x
+
∂
F
∂
y
d
y
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0}
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
∂
F
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}}
d
y
d
x
=
−
∂
F
∂
x
/
∂
F
∂
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial F}{\partial x}}/{\frac {\partial F}{\partial y}}}
דוגמה:
נניח שנתונה המשוואה הסתומה
sin
(
x
y
)
=
ln
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \sin(xy)=\ln(x^{2}+y^{2})}
sin
(
x
y
)
−
ln
(
x
2
+
y
2
)
=
0
{\displaystyle \sin(xy)-\ln(x^{2}+y^{2})=0}
F
(
x
,
y
)
=
sin
(
x
y
)
−
ln
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle F(x,y)=\sin(xy)-\ln(x^{2}+y^{2})}
נשתמש בזהות שפיתחנו, ולשם כך נמצא תחילה את
∂
F
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}}
∂
F
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}}
∂
F
∂
x
=
y
cos
(
x
y
)
−
2
x
x
2
+
y
2
=
(
x
2
+
y
2
)
y
cos
(
x
y
)
−
2
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=y\cos(xy)-{\frac {2x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {(x^{2}+y^{2})y\cos(xy)-2x}{x^{2}+y^{2}}}}
∂
F
∂
y
=
x
cos
(
x
y
)
−
2
y
x
2
+
y
2
=
(
x
2
+
y
2
)
x
cos
(
x
y
)
−
2
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=x\cos(xy)-{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {(x^{2}+y^{2})x\cos(xy)-2y}{x^{2}+y^{2}}}}
עתה נציב את הנגזרות החלקיות לנוסחה שפיתחנו קודם לכן:
d
y
d
x
=
−
(
x
2
+
y
2
)
y
cos
(
x
y
)
−
2
x
x
2
+
y
2
/
(
x
2
+
y
2
)
x
cos
(
x
y
)
−
2
y
x
2
+
y
2
=
−
(
x
2
+
y
2
)
y
cos
(
x
y
)
−
2
x
(
x
2
+
y
2
)
x
cos
(
x
y
)
−
2
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2})y\cos(xy)-2x}{x^{2}+y^{2}}}/{\frac {(x^{2}+y^{2})x\cos(xy)-2y}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2})y\cos(xy)-2x}{(x^{2}+y^{2})x\cos(xy)-2y}}}
בהינתן משוואה המתארת פונקציה
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F_{(x,y)}}
מבודדים את האפס - כלומר, מעבירים את כל האיברים לאגף אחד (לא חשוב איזה), כך שבאגף האחר יהיה רק אפס.
מגדירים את האגפים כפונקציה חדשה של שלושה משתנים
G
(
x
,
y
,
F
)
{\displaystyle G_{(x,y,F)}}
כעת נשתמש בנוסחה:
F
x
′
=
−
G
x
′
G
F
′
{\displaystyle F'_{x}=-{\tfrac {G'_{x}}{G'_{F}}}}
F
{\displaystyle F}
x
{\displaystyle x}
F
{\displaystyle F}
y
{\displaystyle y}
F
y
′
=
−
G
y
′
G
F
′
{\displaystyle F'_{y}=-{\tfrac {G'_{y}}{G'_{F}}}}
x
{\displaystyle x}
F
{\displaystyle F}
x
{\displaystyle x}
F
{\displaystyle F}
וכעת דוגמה:
נתונה המשוואה:
l
n
(
x
)
+
y
+
s
i
n
(
z
)
+
z
2
=
4
x
{\displaystyle ln(x)+y+sin(z)+z^{2}=4x}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
l
n
(
x
)
+
y
+
s
i
n
(
z
)
+
z
2
−
4
x
=
0
{\displaystyle ln(x)+y+sin(z)+z^{2}-4x=0}
G
(
x
,
y
,
F
)
=
l
n
(
x
)
+
y
+
s
i
n
(
z
)
+
z
2
−
4
x
=
0
{\displaystyle G_{(x,y,F)}=ln(x)+y+sin(z)+z^{2}-4x=0}
כעת יש לגזור את
G
{\displaystyle G}
x
{\displaystyle x}
G
{\displaystyle G}
z
{\displaystyle z}
יכול להיות (לדוגמה) שהנגזרת של אחד המשתנים (נניח
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
(
z
)
{\displaystyle (z)}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
(
1
,
2
)
{\displaystyle (1,2)}
x
=
1
,
y
=
2
{\displaystyle x=1,y=2}
z
{\displaystyle z}
