כלל השרשרת

כלל השרשרת הוא כלל בחשבון אינפיניטסימלי המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה שמורכבת ממספר פונקציות אחרות.

ניסוח פורמלי

המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות

הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.

תהיינה $\ f(x),g(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ פונקציות, כך שהטווח של $\ g$ מוכל בתחום ההגדרה של $\ f$, וכן ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת $\ h(x)=f(g(x))$ גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים $\ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

כלומר, הנגזרת של $\ h$ בנקודה כלשהי היא מכפלת הנגזרות של $\ f,g$, כאשר $\ g'$ מחושבת בנקודה, ואילו $\ f'$ מחושבת בתמונת הנקודה על פי $\ g$.

סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון $\ {\frac {dh}{dx}}$: ניתן לכתוב $\ {\frac {dh}{dx}}={\frac {dh}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}$. כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).

מקרה כללי של פונקציות מרובות משתנים

בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת אומר שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת הוא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה, זאת תחת דרישת הדיפרנציאביליות.

אם הפונקציה $\ f$ דיפרנציאבילית בנקודה $\ x$ והפונקציה $\ g$ דיפרנציאבילית בנקודה $\ f(x)$, אז:

${\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\cdot {\mbox{D}}_{x}\left(f\right)$

כאשר $\ {\mbox{D}}_{x}$ פירושו הדיפרנציאל בנקודה $\ x$.

הוכחה

לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{x-x_{0}}}$

נניח קודם כל, כי יש סביבה של $x_{0}$ בה מתקיים לכל x, $g(x)\neq g(x_{0})$. נכפיל מונה ומכנה בביטוי $g(x)-g(x_{0})$ ונקבל:

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{g(x)-g(x_{0})}}\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.

ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה $g(x)=x^{2}\sin({\frac {1}{x}})$ בנקודה $x_{0}=0$. במקרה הזה, אף על פי שהפונקציה g גזירה בנקודה 0, בכל סביבה של 0 יש נקודה t בה $g(0)=g(t)=0$.

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר Q. הערך של Q יהיה שונה מהמוכפל השמאלי רק במקרים בהם $g(x)=g(x_{0})$:

$Q(y)={\begin{cases}{\frac {f(y)-f(g(x_{0}))}{y-g(x_{0})}},&y\neq g(x_{0}),\\f'(g(x_{0})),&y=g(x_{0}).\end{cases}}$

כעת נחשב את הגבול:

$\lim _{x\to x_{0}}Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}$

חישוב זה ייתן לנו את התוצאה הרצויה כיוון שמתקיים תמיד:

$Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {f(g(x))-f(g(x_{0}))}{x-x_{0}}}$

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – במקרה בו $g(x)=g(x_{0})$ שני צדדי המשוואה מתאפסים, ואחרת המכנה בהגדרת Q מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיוון ש-f גזירה בנקודה $g(x_{0})$, Q רציפה באותה נקודה, ולכן מתוך אריתמטיקה של גבולות, נקבל את התוצאה הרצויה.

דוגמאות לשימוש בכלל

נרצה לגזור את הפונקציה $h(x)=(1+x^{2})^{3}$

נשים לב כי $\ h(x)=f(g(x))$ אם $\ g(x)=1+x^{2}$ ו־$\ f(x)=x^{3}$ ולכן מכלל השרשרת:

$\ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$

$\ f'(g(x))=3(1+x^{2})^{2}$

$\ g'(x)=2x$

ועל ידי הצבה נקבל:

$\ h'(x)=3(1+x^{2})^{2}\cdot 2x$

נגזרת של פונקציה הפיכה

הנגזרת של הפונקציה $\ f^{-1}(x)$ ניתנת לחישוב על פי הנוסחה:

$\ (f^{-1})'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}$

כלל זה נובע מכלל השרשרת מאחר ש-$[f(f^{-1}(x)]=x$ ולכן הנגזרת שלה היא 1. מכפלת שני מספרים הופכיים היא 1, ולכן נגזרת הפונקציה החיצונית היא ההופכי של נגזרת הפונקציה הפנימית.

קישורים חיצוניים

• כלל השרשרת, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• כלל השרשרת, באתר MathWorld (באנגלית)
• כלל השרשרת, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)