Saltar ao contido

Sumatorio

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, o sumatorio é a suma dunha secuencia de números, chamadas sumandos; o resultado é a súa suma ou total. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".

Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.

Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo, [a]

Notación

[editar | editar a fonte]
O símbolo do sumatorio

A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:

.

Onde i é o índice da suma; ai é unha variable indexada que representa cada termo da suma; m é o índice inferior da suma e n é o índice superior da suma. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número m ata o elmento número n indo o índice aumentando dun en un.[b]

Isto lese como "suma de ai, de i igual a m ata i igual a n".

Un exemplo que mostra a suma de algúns cadrados consecutivos:

E outro exemplo é a suma dos primeiros n números da secuencia de Fibonacci

Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a n.[1] Por exemplo, pódese escribir que:

Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:

.

Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:

é a suma de sobre todos os elementos no conxunto .
é a suma de sobre todos os números enteiros positivos que dividen .

Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,

é o mesmo que

Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando , que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.

Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como:

Cálculo de diferenzas finitas

[editar | editar a fonte]

Dada unha función f que se define sobre os enteiros do intervalo [m, n], cúmprese a seguinte ecuación:

Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:

onde
é a derivada de f.

Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:

Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:

A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza , definido por:

onde f é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función f, o problema é calcular a antidiferenza de f, unha función tal que . É dicir, Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como [2]

Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que e, por linearidade, para cada función polinómica de n.

Aproximación por integrais definidas

[editar | editar a fonte]

Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente f:

e para calquera función decrecente f:

Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,

xa que o lado dereito é por definición o límite para do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada n é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre f: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.

Identidades

[editar | editar a fonte]

As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.

Identidades xerais

[editar | editar a fonte]
(distributiva).[3]
(conmutativa e asociativa).[3]
(desprazamento do índice).
(bixección σ dun conxunto finito A nun conxunto B, mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente).
(subdividir unha suma, usando asociatividade).
(outra variante da anterior).
.
.
(conmutatividade e asociatividade).
(outra aplicación de conmutatividade e asociatividade).
(subdividir o sumatorio en índices pares e impares).
(subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares).
(distributiva).
(A distributividade permite a factorización).
.
.
para calquera función de .

Potencias e logaritmo das progresións aritméticas

[editar | editar a fonte]
para todo c que non depende de i.
.[2]
(Suma dos primeiros números naturais impares).
(Suma dos primeiros números naturais pares).
(A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto).
. [2]
(Teorema de Nicómaco) [2]

Índice do sumatorio en expoñentes

[editar | editar a fonte]

Nos seguintes sumatorios, asúmese que a é diferente de 1.

(suma dunha progresión xeométrica).
(caso especial para a = 1/2).
(a veces a derivada con respecto a a da progresión xeométrica).
(suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)

Coeficientes binomiais e factoriais

[editar | editar a fonte]

Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.

Implicando o teorema do binomio

[editar | editar a fonte]
o teorema do binomio.
caso especial onde a = b = 1.
, o caso especial onde p = a = 1 − b, que, para expresa a suma da distribución binomial.
o valor en a = b = 1 da derivada con respecto a a do teorema do binomio.
o valor en a = b = 1 da antiderivada con respecto a a do teorema do binomio.

Implicando números de permutación

[editar | editar a fonte]

Nos seguintes sumatorios, é o número de k-permutacións de n.

, onde e denota a función chan.

Números harmónicos

[editar | editar a fonte]
(o n-ésimo número harmónico )
(o número harmónico xeneralizado)
  1. "sumatorio". www.columbia.edu. 
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1.
  3. 3,0 3,1 "notación sumatorio". tutorial.math.lamar.edu. 
  1. Para máis detalles, ver Número triangular.
  2. Para unha exposición detallada da notación do sumatorio e aritmética con sumas, ver Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]