Modelos autorregresivos integrados de medias móbiles

En estatística, un modelo autorrregresivo integrado de medias móbiles (ARIMA) é unha xeneralización dun modelo autorregresivo de media móbil (ARMA). Estes modelos axústanse a datos de series temporales para entender mellor os datos ou para predicir puntos futuros da serie. O modelo adóitase describir como un modelo ARIMA (p,d,q) onde p, d e q son enteiros iguales ou maiores que cero e fan referencia á orde das partes autorregresiva, integrada e de medias móbiles do modelo, respectivamente.

Dada unha serie temporal de datos X_t (onde t é un valor enteiro e X_t son números reales) entón o modelo ARMA(p,q) vén dado por

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,$

onde L é o operador retardo, os φ_i son os parámetros da parte autorregresiva do modelo, os θ_i son os parámetros da parte de medias móbiles e os ε_t son termos de erro. Os termos de erro ε_t asúmese que son xeralmente variables iid mostreadas dunha distribución normal con media cero: ε_t ~ N(0,σ²) onde σ² é a varianza.

O modelo ARMA xeneralízase engadindo un parámetro d para crear o modelo ARIMA (p, d, q)

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,$

onde d é un enteiro positivo (se d é cero entón o modelo é equivalente a un modelo ARMA). Debe terse en conta que non tódalas combinacións de parámetros producen modelos con comportamento correcto. En particular, se o modelo ase quere que sexa estacionario os parámetros deberán cumprir certas condicións.

Algúns casos especiais do modelo dedúcense de xeito natural. Por exemplo, un modelo ARIMA(0,1,0) vén dado por:

$X_{t}=X_{t-1}+\varepsilon$

o cal é un simple camiño aleatorio.

Úsanse moitas variacións do modelo ARIMA. Por exemplo, se se usan varias series temporais, X_t pódense considerar como vectores, e entón un modelo VARIMA pode ser máis apropiado. Outro exemplo, supoñamos o volume de tráfico dunha estrada. Os fins de semana teñen un comportamento claramente diferenciado dos días de semana. Neste caso considérase que é mellor utilizar un modelo SARIMA (ARIMA estacional) que incrementar a orde das partes AR e MA do modelo. Se se sospeita que a serie temporal contén dependencia ó longo do tempo, entón o parámetro d debe substituírse por valores non enteiros nun modelo fraccional ARIMA (FARIMA, ou tamén chamado ARFIMA).