Función por tramos

Gráfico da función linear por tramos $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.$

En matemáticas, unha función por tramos (tamén chamada definición por casos) é unha función cuxo dominio está dividido en varios intervalos ("subdominios") nos que a función pode definirse de forma diferente. A definición por tramos é en realidade unha forma de especificar a función, máis que unha característica da propia función resultante.

Notación e interpretación

Gráfica da función de valor absoluto, $y=|x|$

As funcións por tramos pódense definir usando a notación funcional común, onde o corpo da función son varias liñas de funcións e subdominios asociados. Un punto e coma ou coma pode seguir as columnas da subfunción ou do subdominio. O "${\text{se}}$" ou "${\text{para}}$" raramente se omiten ao comezo da columna da dereita.

Os subdominios xuntos deben cubrir todo o dominio. Por exemplo, vexamos a definición por tramos da función valor absoluto:

$$|x|={\begin{cases}-x,&{\text{se }}x<0\\+x,&{\text{se }}x\geq 0.\end{cases}}$$

Exemplos

• Función linear por tramos, unha función composta por segmentos de liña
  • Función en escada, unha función composta por subfuncións constantes.
  • Valor absoluto
  • Función triangular
• Lei potencial, unha función composta por subfuncións da lei potencial.
• Spline, unha función composta por subfuncións polinómicas, que posúe un alto grao de suavidade nos lugares onde se conectan os tramos polinómicos.
• PDIFF, variedade diferenciábel por tramos.
• $f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{noutro caso}}\end{cases}}$
  
  
  
  

Continuidade e diferenciabilidade das funcións por tramos

Gráfico dunha función cuadrática por tramos $f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}x^{2}&{\text{if}}&x<0.707\\1.5-(x-1.414)^{2}&{\text{if}}&0.707\leq x\\\end{array}}\right.$ A súa única descontinuidade está en $x_{0}=0.707$.

Unha función definida por tramos é continua nun intervalo dado no seu dominio se se cumpren as seguintes condicións:

• as súas subfuncións son continuas nos intervalos correspondentes (subdominios),
• non hai descontinuidade nun punto final de ningún subdominio dentro dese intervalo.

A función representada, por exemplo, é continua por tramos nos seus subdominios, mais non é continua en todo o dominio, xa que contén unha descontinuidade de salto en $x_{0}$. O círculo recheo indica que nesa posición úsase o valor da subfunción dereita.

Para que unha función definida por tramos sexa diferenciábel nun intervalo dado do seu dominio, deben cumprirse as seguintes condicións a maiores das anteriores que se deron para a continuidade:

• as súas subfuncións son diferenciábeis nos intervalos abertos correspondentes,
• as derivadas unilaterais existen nos extremos de todos os intervalos,
• nos puntos onde se tocan dous subintervalos, coinciden as correspondentes derivadas unilateraiss dos dous subintervalos veciños.

Conceptos relacionados

O concepto de funcións definidas por tramos adoita xeneralizarse a curvas, como as curvas lineares por tramos e os splines, que son curvas polinómicas por tramos. O concepto tamén se pode estender a construcións máis abstractas, como as variedades lineares por tramos.

Véxase tamén

Outros artigos

• Función en escada
• Función de Cantor
• Integral de Lebesgue