Matriz cadrada

En matemáticas, unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas e columnas. Chamamos matriz n-por-n a unha matriz cadrada de orde $n$ . Pódense sumar e multiplicar dúas matrices cadradas calquera da mesma orde.

As matrices cadradas utilízanse a miúdo para representar transformacións lineares simples, como a rotación. Por exemplo, se $R$ é unha matriz cadrada que representa unha rotación (matriz de rotación) e $\mathbf {v}$ é un vector columna que describe a posición dun punto no espazo, o produto $R\mathbf {v}$ produce outro vector columna que describe a posición dese punto despois desa rotación. Se $\mathbf {v}$ é un vector fila, a mesma transformación pódese obter usando $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ , onde $R^{\mathsf {T}}$ é a transposta de $R$ .

Diagonal principal

As entradas $a_{ii}$ ( $i = 1, ..., n$ ) forman a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 da imaxe contén os elementos $a 11 = 9$ , $a 22 = 11$ , $a 33 = 4$ , $a 44 = 10$ .

A diagonal dunha matriz cadrada desde a esquina superior dereita ata a esquina inferior esquerda chámase antidiagonal ou contradiagonal.

Tipos especiais

Matriz diagonal, triangular e identidade

Nome	Exemplo con n = 3
Matriz diagonal	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz triangular inferior	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz triangular superior	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz identidade	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

O termo matriz identidade refírese á propiedade da multiplicación matricial que $I_{m}A=AI_{n}=A$ para calquera matriz $A$ de dimensións $m\times n$ .

Matriz invertible e a súa inversa

Unha matriz cadrada $A$ chámase invertible ou non singular se^[1].^[2] existe unha matriz $B$ tal que $AB=BA=I_{n}$ Se $B$ existe, é única e chámase matriz inversa de $A$ , denotado $A^{-1}$ .

Matriz simétrica ou antisimétrica

Unha matriz cadrada $A$ que é igual á súa transposición, é dicir, $A^{\mathsf {T}}=A$ , é unha matriz simétrica. Se en cambio $A^{\mathsf {T}}=-A$ , entón $A$ chámase matriz antisimétrica.

Para unha matriz cadrada complexa $A$ , moitas veces o análogo axeitado da transposición é a transposta conxugada $A^{*}$ , definido como a transposición do conxugado complexo de $A$ . Unha matriz cadrada complexa $A$ que satisfai $A^{*}=A$ chámase matriz hermitiana. Se temos $A^{*}=-A$ , entón $A$ chámase matriz antisimétrica hermitiana.

Segundo o teorema espectral, as matrices reais simétricas (ou complexas hermitianas) teñen unha base propia ortogonal (ou unitaria); é dicir, cada vector é expresable como unha combinación linear de vectores propios (eigenvectores). En ambos os casos, todos os valores propios (eigenvalores) son reais.

Matriz ortogonal

Unha matriz ortogonal é unha matriz cadrada onde a súa transposta é igual á súa inversa: $A^{\textsf {T}}=A^{-1},$ que implica $A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$ onde I é a matriz identidade.

Unha matriz ortogonal $A$ é necesariamente invertible (con inverso $A -1 = A T$ ), unitaria ( $A -1 = A *$ ) e normal ( $A * A = AA *$ ). O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial $\operatorname {SO} (n)$ consta das matrices $n \times n$ ortogonais co determinante +1.

O análogo complexo dunha matriz ortogonal é unha matriz unitaria.

Matriz normal

Unha matriz cadrada real ou complexa $A$ chámase normal se $A^{*}A=AA^{*}$ . Se unha matriz cadrada real é simétrica, antisimétrica ou ortogonal, entón é normal. Se unha matriz cadrada complexa é hermitiana, hermitiana antisimétrica ou unitaria, entón é normal.

Operacións

Traza

A traza, tr( A ) dunha matriz cadrada A é a suma das súas entradas diagonais. Aínda que a multiplicación de matrices non é conmutativa, a traza do produto de dúas matrices si é conmutativa: $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$ Ademais, a traza dunha matriz é igual ao da súa transposición, é dicir, $\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).$

Determinante

Unha transformación linear

\mathbb {R} ^{2}

dada pola matriz que se mostra. O determinante desta matriz é −1, o mapa inverte a orientación.

O determinante $|A|$ ou $\det(A)$ dunha matriz cadrada $A$ é un número que contén certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. O seu valor absoluto é igual á área (en $\mathbb {R} ^{2}$ ) ou volume (en $\mathbb {R} ^{3}$ ) da imaxe do cadrado (ou cubo) da unidade, mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante das matrices 2×2 vén dado por $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$ O determinante das matrices 3×3 implica 6 termos (regra de Sarrus). A fórmula de Leibniz xeneraliza estas dúas fórmulas a todas as dimensións.^[3]

O determinante dun produto de matrices cadradas é igual ao produto dos seus determinantes, temos: $\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$ Finalmente, a expansión de Laplace expresa o determinante en termos de menores, é dicir, determinantes de matrices máis pequenas. Os determinantes pódense usar para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer, onde a división dos determinantes de dúas matrices cadradas relacionadas equivale ao valor de cada unha das variables do sistema.

Eigenvalores e eigenvectores

Artigo principal: Valor propio, vector propio e espazo propio.

Un número $λ$ e un vector distinto de cero $\mathbf {v}$ que satisfai $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ chámanse eigenvalores e eigenvectores de $A$ , respectivamente. ^[4] O número $λ$ é un eigenvalor dunha matriz $n \times n$ $A$ se e só se $A - λ I n$ non é invertible, o que é equivalente a $\det(A-\lambda I)=0.$