Variété parallélisable
Une variété différentielle M de classe Ck est dite parallélisable si son fibré tangent est trivial, c'est-à-dire isomorphe, en tant que fibré vectoriel, à , où est un espace vectoriel de dimension
Il revient au même de dire qu'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle telle que pour tout , est un isomorphisme d'espaces vectoriels ;
ou encore qu'il existe champs de vecteurs linéairement indépendants en tout point de M, autrement dit un champ de repères.
Un isomorphisme de fibrés vectoriels entre et s'appelle un parallèlisme.
Propriétés
[modifier | modifier le code]Comme toute variété est localement difféomorphe à , pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable.
Il s'agit donc d'une propriété globale.
Une variété parallélisable est orientable : un champ de repères fournit gratuitement une orientation.
Si elle est compacte, sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle, d'après le théorème de Poincaré-Hopf.
Exemples et contre-exemples
[modifier | modifier le code]Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable. C'est la seule variété compacte de dimension 2 parallélisable, puisque c'est la seule surface orientable de caractéristique d'Euler-Poincaré nulle.
La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable, d'après le théorème de Poincaré-Hopf, ou plus simplement d'après le théorème de la boule chevelue, qui assure que tout champ de vecteurs sur admet un zéro au moins.
Tout groupe de Lie est une variété parallélisable ; c'est en particulier le cas de la 3-sphère, en tant que groupe des unités des quaternions.
L'exemple de est commun à deux situations plus générales :
- les seules sphères parallélisables sont [1] ;
- toute variété orientable de dimension 3 est parallélisable.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- R. Bott and J. Milnor, On the parallelizability of spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 64(1958), 87-89
Sources
[modifier | modifier le code]- Paul Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann Éditeur, 1972
- Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences, 2015, p. 113-115.