Potentiels de Liénard-Wiechert

Les potentiels de Liénard-Wiechert décrivent, dans un contexte classique, les effets électromagnétiques créés par une charge ponctuelle en mouvement, via un potentiel vecteur et un potentiel scalaire dans la jauge de Lorenz. Une particule chargée de vitesse ${\vec {v}}$ se trouvant à l'origine d'un repère à l'instant $t$ engendre un potentiel électrique $V$ et un potentiel vecteur ${\vec {A}}$ en un point $M$ repéré par le vecteur ${\vec {r}}$ :

$V({\vec {r}},t)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r-{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}/c}}$

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}{\frac {\vec {v}}{r-{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}/c}}$

avec ${\vec {v}}={\vec {v}}(t-r/c)$.

Champs relativistes d'une particule ponctuelle

Les champs dérivant du potentiel de Liénard-Wiechert sont :

${\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\frac {{\vec {n}}-{\vec {v}}/c}{\gamma ^{2}\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}+{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c^{2}r}}{\frac {{\vec {n}}\times \left[\left({\vec {n}}-{\vec {v}}/c\right)\times {\vec {a}}\right]}{\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}$

${\vec {B}}={\frac {q\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {n}}}{\gamma ^{2}\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}+{\frac {q\mu _{0}}{4\pi rc}}{\frac {{\vec {n}}\times \left({\vec {n}}\times \left(({\vec {n}}-{\vec {v}}/c)\times {\vec {a}}\right)\right)}{\left(1-{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}/c\right)^{3}}}$

Où on retrouve $\gamma$ le facteur de Lorentz, ${\vec {a}}$ l'accélération de la particule et ${\vec {n}}={\frac {\vec {r}}{||r||}}$ le vecteur radial de la base sphérique. Dans ces expressions on notera que le premier terme diminue en $1/r^{2}$, il s'exprimera donc en champ proche tandis que le second terme en $1/r$ s'exprimera en champ lointain. On remarquera également qu'ici :

${\vec {B}}={\frac {\vec {n}}{c}}\times {\vec {E}}$

NB : A l'ordre le plus bas en $1/c$ le champ magnétique est indépendant de ${\vec {a}}$ et a pour expression :

${\vec {B}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {n}}}{c^{2}}}+o\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$

Application

Problème à 2 corps électromagnétiques

Il est possible de modéliser la collision entre deux particules relativistes à l'aide du potentiel de Liénard -Wiechert. Le problème s'appelle le problème à 2 corps électromagnétiques. On resout alors les équations :

$m_{1}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v_{1}}}}{\mathrm {d} t}}=q_{1}\left({\vec {E_{2}}}+{\vec {v_{1}}}\times {\vec {B_{2}}}\right)$

$m_{2}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v_{2}}}}{\mathrm {d} t}}=q_{2}\left({\vec {E_{1}}}+{\vec {v_{2}}}\times {\vec {B_{1}}}\right)$

Les champs $E_{1}$,$E_{2}$,$B_{1}$ et $B_{2}$ dérivant des potentiels de Liénard -Wiechert ci-dessus.

On peut montrer que l'expression exacte du champ de force engendré par une particule créant un potentiel de Liénard -Wiechert est  :

${\vec {F}}/q={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r}{({\vec {r}}\cdot {\vec {u}})^{3}}}\left\{\left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {r}}\times ({\vec {u}}\times {\vec {a}})\right]+{\frac {\vec {v}}{c}}\times \left[{\vec {r}}\times \left[(c^{2}-v^{2}){\vec {u}}+{\vec {r}}\times ({\vec {u}}\times {\vec {a}})\right]\right]\right\}$

où on a posé ${\vec {u}}=c{\frac {\vec {r}}{||r||}}-{\vec {v}}$. Notons que les grandeurs ${\vec {u}}$,${\vec {v}}$,${\vec {a}}$ et ${\vec {r}}$ sont évalués avec un instant retardé.