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Polyhex

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En mathématiques récréatives, un polyhex est un polyforme avec un hexagone régulier (ou 'hex' pour faire court) comme forme de base.

Énumération

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Comme les polyominos, les polyhexs peuvent être dénombrés sous forme de polyhexs libres (où les rotations et les réflexions ont la même forme), les polyhexs fixes (où différentes orientations sont distinctes) et les polyhexs unilatéraux (où les images miroir comptent comme distinctes mais les rotations comptent comme identiques). Ils peuvent également être distingués selon s'ils contiennent des trous ou pas. Le nombre de polyhex pour n = 1, 2, 3, ... hexagones est donné dans l'Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers sous forme de codes OEIS[1],[2].

n Libres
OEIS A000228
Libres avec trous
OEIS A038144
Libres sans trous
OEIS A018190
Unilatéraux
OEIS A006535
Fixes
OEIS A001207
1 1 0 1 1 1
2 1 0 1 1 3
3 3 0 3 3 11
4 7 0 7 10 44
5 22 0 22 33 186
6 82 1 81 147 814
7 333 2 331 620 3652
8 1448 13 1435 2821 16689
9 6572 67 6505 12942 77359
10 30490 404 30086 60639 362671

Tous les polyhexs ayant moins de cinq hexagones peuvent former au moins un pavage plan régulier. De plus, les pavages plans du dihex et des polyhex droits sont invariants par rotation et par réflexion de 180 degrés parallèles ou perpendiculaires au grand axe du dihex (ordre 2 en rotation et ordre 4 en réflexion), et le pavage hexagonal et quelques autres polyhexs (comme l'hexahex avec un trou, ci-dessous) sont invariants sous 60, 120 ou 180° de rotation (ordre 6 en rotation et en réflexion).

Le monohex The Monohex
Le dihex The Dihex
Les 3 trihexes The 3 Trihexes
Les 7 tetrahexes The 7 Tetrahexes
Les 22 pentahexes The 22 Pentahexes
Les 82 hexahexes dont un a un trou The 82 Hexahexes

Références

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  1. Wolfram Mathworld: Polyhex
  2. Glenn C. Rhoads, Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds, Journal of Computational and Applied Mathematics 174 (2005), No. 2, pp 329–353