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Le moment d'un vecteur peut se définir par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté. Le moment par rapport à un point est un vecteur , le moment par rapport à un axe est un scalaire . Les moments d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) sont des pseudovecteurs ou des pseudoscalaires , ceux d'un pseudovecteur sont des vecteurs vrais ou des scalaires vrais.
Le moment d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire)
V
→
{\displaystyle {\vec {V}}}
pseudovecteur (ou vecteur axial) défini par le produit vectoriel :
M
O
↪
(
V
→
)
=
O
M
→
∧
V
→
{\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}}
Le moment d'un vecteur vrai
V
→
{\displaystyle {\vec {V}}}
u
^
{\displaystyle {\hat {u}}}
pseudoscalaire défini comme la projection de
M
O
↪
(
V
→
)
{\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})}
[ a]
M
Δ
(
V
→
)
=
u
^
⋅
M
O
↪
(
V
→
)
{\displaystyle M_{\Delta }({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})}
Le moment d'un pseudovecteur (ou vecteur axial)
V
↪
{\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{V}}}
M
O
→
(
V
↪
)
=
O
M
→
∧
V
↪
{\displaystyle {\overrightarrow {M_{\mathrm {O} }}}({\overset {\hookrightarrow }{V}})={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\overset {\hookrightarrow }{V}}}
M
Δ
(
V
↪
)
=
u
^
⋅
M
O
→
(
V
↪
)
{\displaystyle M_{\Delta }({\overset {\hookrightarrow }{V}})={\hat {u}}\cdot {\overrightarrow {M_{\mathrm {O} }}}({\overset {\hookrightarrow }{V}})}
scalaire vrai). Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement :
L
O
↪
=
O
M
→
∧
p
→
{\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{L_{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {p}}}
Le moment d'une force (
Γ
O
↪
=
O
M
→
∧
F
→
{\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{\Gamma _{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {F}}}
théorème du moment cinétique .
Le moment magnétique d'un circuit électrique est, au facteur 1 / 2 intégrale du moment de l'élément de courant
I
d
l
→
{\displaystyle I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}
μ
↪
=
1
2
∮
r
→
∧
I
d
l
→
{\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{\mu }}={\frac {1}{2}}\oint {\vec {r}}\wedge I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}
Le champ magnétique produit par un circuit électrique est, à un facteur constant près, l'intégrale du moment de l'élément de courant
I
d
l
→
{\displaystyle I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}
loi de Biot et Savart ) :
B
↪
=
μ
0
4
π
∮
r
→
∧
I
d
l
→
r
3
{\displaystyle {\overset {\hookrightarrow }{B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint {\frac {{\vec {r}}\wedge I\,{\vec {\mathrm {d} l}}}{r^{3}}}}
↑ Le calcul indiqué donne le même résultat quel que soit le point choisi (sur l'axe). En effet, si O' est un autre point de l'axe :
u
^
⋅
M
O
′
↪
(
V
→
)
−
u
^
⋅
M
O
↪
(
V
→
)
=
u
^
⋅
(
M
O
′
↪
(
V
→
)
−
M
O
↪
(
V
→
)
)
=
u
^
⋅
(
O
′
M
→
∧
V
→
−
O
M
→
∧
V
→
)
=
u
^
⋅
[
(
O
′
M
→
−
O
M
→
)
∧
V
→
]
=
u
^
⋅
(
O
′
O
→
∧
V
→
)
=
0
{\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\hat {u}}\cdot {\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})={\hat {u}}\cdot \left({\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} '}}}({\vec {V}})-{\overset {\hookrightarrow }{M_{\mathrm {O} }}}({\vec {V}})\right)={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}\wedge {\vec {V}}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\wedge {\vec {V}}\right)={\hat {u}}\cdot \left[\left({\overrightarrow {\mathrm {O'M} }}-{\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\right)\wedge {\vec {V}}\right]={\hat {u}}\cdot \left({\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}\wedge {\vec {V}}\right)=0}
u
^
{\displaystyle {\hat {u}}}
O
′
O
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {O'O} }}}
produit mixte ).
