Lemme d'Aubin–Lions

En mathématiques, le lemme (ou théorème) d'Aubin-Lions est un résultat de la théorie des espaces de Sobolev, qui fournit un critère de compacité utile dans l'étude des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Typiquement, pour prouver l'existence de solutions on construit d'abord des solutions approchées (par exemple, par une méthode de Galerkine ou par régularisation de l'équation), puis on utilise le lemme de compacité pour montrer qu'il existe une sous-suite convergente de solutions approchées dont la limite est une solution.

Le résultat porte le nom des mathématiciens français Jean-Pierre Aubin et Jacques-Louis Lions. Dans la preuve originale d'Aubin, les espaces X₀ et X₁ dans l'énoncé du lemme étaient supposés être réflexifs, mais cette hypothèse a été supprimée par Simon. Pour cette raison, le résultat est parfois connu sous le nom de lemme d'Aubin–Lions–Simon.

Énoncé du lemme

Soient X₀, X et X₁ trois espaces de Banach avec X₀ ⊆ X ⊆X_1. Supposons que X ₀ est plongé de manière compacte dans X et que X est continûment plongé dans X₁. Pour $1\leq p,q\leq \infty$, soit

$W=\{u\in L^{p}([0,T];X_{0})\mid {\dot {u}}\in L^{q}([0,T];X_{1})\}.$

(i) Si $p<\infty$, alors le plongement de W dans $L^{p}([0,T];X)$ est compact.

(ii) Si $p=\infty$ et $q>1$, alors le plongement de W dans $C([0,T];X)$ est compact.

Référence

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Aubin–Lions lemma » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Jean-Pierre Aubin, « Un théorème de compacité. », Comptes Rendus de l’Académie des Sciences,‎ 1963, p. 5042–5044
• Barrett et Süli, « Reflections on Dubinskii's nonlinear compact embedding theorem », Publications de l'Institut Mathématique (Belgrade), nouvelle Série, vol. 91, n^o 105,‎ 2012, p. 95–110 (DOI 10.2298/PIM1205095B, MR 2963813, arXiv 1101.1990, S2CID 12240189)
• Franck Boyer et Pierre Fabrie, Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models, New York, Springer, coll. « Applied Mathematical Sciences 183 », 2013, 102–106 p. (ISBN 978-1-4614-5975-0) (Theorem II.5.16)
• J.L. Lions, Quelque methodes de résolution des problemes aux limites non linéaires, Paris, Dunod-Gauth. Vill., 1969 (MR 259693)
• T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Basel, 2nd, 2013 (ISBN 978-3-0348-0512-4) (Sect.7.3)
• Ralph E. Showalter, Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys and Monographs 49 », 1997, 106 p. (ISBN 0-8218-0500-2, MR 1422252) (Proposition III.1.3)
• Simon, « Compact sets in the space L^p(O,T;B) », Annali di Matematica Pura ed Applicata, vol. 146,‎ 1986, p. 65–96 (DOI 10.1007/BF01762360, MR 916688, S2CID 123568207)
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