Inégalité de Bessel

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Énoncé pour une famille finie

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ses vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Énoncé pour une famille finie — Soit (e₁, … , e_n) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum _{i=1}^{n}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e₁, … , e_n.

Démonstration

Notons F le sous-espace vectoriel engendré par la famille (e₁, … , e_n), et définissons le vecteur

y=\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.

Ce vecteur y appartient à F et x-y est orthogonal à chaque e_j, donc à F. On a donc

\|x\|^{2}=\|y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}|\langle x,e_{i}\rangle |^{2},

avec égalité si et seulement si x = y.

Si x = y alors x appartient à F. Réciproquement, si x appartient à F alors x – y est à la fois orthogonal à F et élément de F, donc nul, d'où x = y.

Généralisation à une famille quelconque

Le résultat précédent s'étend au cas où la famille (e_i) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :

Énoncé dans le cas général — Soit (e_i) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum _{i\in I}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2},

et l'ensemble des indices i tels que 〈e_i, x〉 soit non nul est au plus dénombrable.

Cas d'égalité et unicité des coefficients de Fourier — En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par la famille, et dans ce cas x s'écrit de manière unique comme somme d'une famille de terme général λ_ie_i. La somme est la suivante :

x=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.

Si la famille (e_i) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :

\sum _{i\in I}\left|{\frac {\langle x,e_{i}\rangle }{\|e_{i}\|}}\right|^{2}\leq \|x\|^{2}.

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.

Démonstrations

Inégalité et dénombrabilité :

Soit J une sous-famille finie de I. Le résultat du paragraphe précédent montre que :

\sum _{j\in J}\left|\langle x,e_{j}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.

Ce résultat est vrai quelle que soit la sous-famille finie J de I. Ce qui montre la majoration de l'énoncé, donc la sommabilité de la famille. Or l'ensemble des termes non nuls d'une famille sommable est au plus dénombrable.

Cas d'égalité :

Notons H l'espace de Hilbert complété de E et F l'adhérence dans H du sous-espace vectoriel engendré par les e_i (l'adhérence dans E de ce même sous-espace est donc F∩E). L'inégalité précédente permet de définir, dans H,