Généralités sur les machines électriques

Le but de cette page est d'expliquer et de démontrer comment une machine électrique fonctionne et produit un couple.

Circuit statique

Soit un circuit magnétique entouré par un bobinage comportant N spires alimenté par une tension $u\,$. On note $\varphi \,$ le flux par spire et $\Phi =N\varphi \,$ le flux total embrassé par la bobine.

On peut faire le schéma électrique équivalent suivant avec une résistance R qui symbolise les pertes dans les câbles et une fem $e={d\Phi \over dt}\,$ voir Loi de Lenz.

donc on peut écrire :

$u=Ri+{d\Phi \over dt}\,$

En multipliant cette équation par $idt\,$ on obtient :

$u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$

Bilan des énergies

Donc on alimente un circuit magnétique avec une tension u, le circuit consomme une puissance We, on obtient de la chaleur W_th (les câbles chauffent) et le reste est de l'énergie magnétique. donc $dW_{e}=dW_{th}+dW_{m}\,$

Reprenons la formule plus haut $u.i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$ On peut identifier $dW_{e}=u.i.dt\,$ la puissance consommée et $dW_{th}=R.i^{2}.dt\,$ les pertes thermiques.

Par identification on en déduit que $dW_{m}=Nid\varphi \,$. Donc :

$W_{m}=\int {Nid\varphi }\,$

Si on considère que le circuit est indéformable alors $dS=0\,$ avec $S\,$ = surface délimitée par le circuit.

$\varphi =B.S\Rightarrow d\varphi =S.dB+dS.B\Rightarrow dW_{m}=N.i.S.dB\,$

$Ni=\int {H.dl}=Hl$

donc on en déduit $dW_{m}=H.l.S.dB=H.dB.V\,$ avec $V=l.S=\,$Volume

donc $W_{m}=\int {H.dB.V}$

Cas linéaire : On considère que le matériau est non saturé.

donc $\Phi =Li\,$ et $B=\mu .H\,$

$W_{m}={\frac {1}{2}}.\Phi .i\,$ si $\Phi =L.i\,$ alors $W_{m}={\frac {1}{2}}.L.i^{2}$

${\frac {W_{m}}{V}}={\frac {1}{2}}.B.H={\frac {1}{2}}.\mu .H^{2}={\frac {B^{2}}{2\mu }}$

on pose $W_{m}+W'_{m}=\Phi .i=N.\varphi .i\,$ avec :

• $W_{m}\,$= énergie magnétique
• $W'_{m}\,$= co-énergie

dans le cas linéaire = $W_{m}=W'_{m}=\Phi .i/2\,$

Circuit déformable ou dynamique

Comme le circuit est en mouvement, on a de l'énergie mécanique en plus de l'énergie thermique et l'énergie magnétique.

Donc : $dW_{e}=dW_{th}+dW_{meca}+dW_{m}\,$, avec :

• $dW_{e}=u.i.dt=(Ri+N{\frac {d\varphi }{dt}}).i.dt=R.i^{2}.dt+N.i.d\varphi \,$
• $dWth=R.i^{2}.dt\,$
• $dW_{meca}=F.dx\,$ (déplacement linéaire) ou $dW_{meca}=C.d\theta \,$ (rotation)

De plus on néglige les pertes fer et les frottements.

donc on obtient :

$R.i.dt+N.i.d\varphi =Fdx+dW_{m}\,$

$F=(-{\frac {dW_{m}}{dt}})\varphi =cste\,$

comme $W_{n}+W'_{m}=\varphi .N.i\,$