Fonction univalente

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.

Exemples

Toute transformation de Möbius $\phi _{a}$ d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, $\phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}},$ où $|a|\leq 1,$ est univalente.

Propriétés

On peut démontrer que si $G$ et $\Omega$ sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et

$f:G\to \Omega$

est une fonction univalente tel que $f(G)=\Omega$ (c'est-à-dire que $f$ est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de $f$ ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,

$(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}$

pour tous $z$ dans $G$

Comparaison avec les fonctions réelles

Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction

$f:(-1,1)\to (-1,1)\,$

donnée par ƒ(x) = x³, cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier  (−1, 1).

Bibliographie

• John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978 (ISBN 0-387-90328-3)
• John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1996 (ISBN 0-387-94460-5).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Univalent function » (voir la liste des auteurs).