Théorème des gendarmes
En analyse, le théorème des gendarmes[1] (également appelé théorème de l'étau[2], théorème d'encadrement[3] ou théorème du sandwich[4]) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions (f et h) admettent la même limite en un point (a), et qu'une troisième fonction (g) est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre f et h dans le voisinage de a, alors g admet en a une limite, égale à la limite commune de f et h.
Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.
Énoncé
modifierSoient :
- E un espace topologique ;
- A une partie de E ;
- un point de E adhérent à A ;
- , et trois fonctions de A dans ℝ = ℝ ∪ {–∞, +∞} ;
- un élément de ℝ.
Si et si , alors converge en et [5].
Origine du nom
modifierPour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions f et h à des gendarmes et g à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie L. En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ». Il est également appelé « théorème d'existence de limites par encadrement » dans le supérieur[6] car son résultat phare est l'existence de la limite plus que sa valeur. Il existe en effet d'autres théorèmes, comme celui de passage à la limite dans une inégalité, qui permettent d'obtenir la valeur d'une limite si l'on connaît son existence.
Cas particuliers
modifier- Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant .
- Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant .
- L'ensemble A peut être un intervalle réel et le point a un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non).
- On peut aussi appliquer le théorème avec ou et : si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > N avec réel ou infini.
Exemples
modifierPremier exemple
modifierUn exemple classique d'application du théorème des gendarmes est[7] :
ou, ce qui est équivalent :
- .
A fortiori, , ce qui peut également se démontrer directement, toujours par le théorème des gendarmes[8].
Deuxième exemple
modifierProbablement l'exemple le plus connu[réf. souhaitée] de détermination de limite à l'aide du théorème des gendarmes est la démonstration de l'égalité suivante :
- .
Elle découle du théorème des gendarmes par l'encadrement classique[9]
pour x (non nul) suffisamment proche de 0.
Cette limite est utilisée pour démontrer que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
Notes et références
modifier- Ministère de l'Éducation nationale (France), « Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique », B.O., no 4, , p. 65 (lire en ligne).
- Abdou Kouider Ben-Naoum, Analyse : Premières notions fondamentales : Théorie, exemples, questions, exercices, Presses universitaires de Louvain, , 414 p. (ISBN 9782874630811, lire en ligne), p. 66.
- Stéphane Balac et Frédéric Sturm, Algèbre et analyse : cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés, PPUR, (lire en ligne), p. 577.
- James Stewart (en) (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Analyse concepts et contextes : Fonction d'une variable [« Calculus: Concepts and Contexts »], vol. 1, De Boeck, , 631 p. (ISBN 9782804163068), p. 110.
- Pour des fonctions à valeurs dans ℝ — mais la démonstration est identique pour des fonctions à valeurs dans ℝ — le théorème est énoncé sous cette forme générale et démontré par E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, , p. 40, ainsi que — pour le cas particulier E = ℝ et A ⊂ ℝ, mais la démonstration s'adapte sans problème à un espace topologique quelconque — dans Frédéric Denizet, Analyse - MPSI, Nathan, coll. « Classe prépa », (lire en ligne), p. 201 et dans .
- N. Nguyen et al., Mathématiques PCSI - Programme 2021, Éditions Ellipses, (lire en ligne), p. 259.
- Cet exemple est détaillé dans .
- Cet exemple est détaillé dans .
- Voir par exemple (de) Selim G. Krein et V. N. Uschakowa, Vorstufe zur höheren Mathematik, Vieweg, (ISBN 978-3-322-98628-3, lire en ligne), p. 80-81, ou simplement la propriété 1 de .
Voir aussi
modifierArticle connexe
modifierThéorème du sandwich (variante)