Série de Riemann
Pour α un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : .
La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1 :
Convergence
modifierLa série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1.
En effet :
- si Re(α) ≤ 0, la série est grossièrement divergente ;
- la preuve de la convergence absolue pour Re(α) > 1 peut se faire par comparaison série-intégrale avec l'intégrale impropre associée :
- celle de la divergence pour α ∈ ]0, 1] également ;
- si α = σ + it avec σ ∈ ]0, 1] et t réel non nul, il suffit d'affiner un peu la méthode.
Valeurs particulières
modifierOn sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :
- , où est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).
Par exemple
En revanche, on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme, appelée constante d'Apéry, est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).
Fonction zêta de Riemann
modifierLa fonction zêta de Riemann ζ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :
Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.
Elle intervient dans l’étude de la répartition des nombres premiers dans le cadre de l’hypothèse de Riemann.
Généralisations
modifier- Les séries de Bertrand, de la forme
- Les séries de Dirichlet, de la forme
- Les séries de Riemann multiples, de la forme Il y a convergence absolue si et seulement si Re(α) > k.
Voir aussi
modifier- Histoire de la fonction zêta de Riemann
- Test de condensation de Cauchy
- Série de Riemann alternée à fonction êta de Dirichlet