Constante d'Apéry
En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann :
Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.
On n'en connaît pas de forme fermée.
Décimales connues
modifierCette constante était connue avec 128 000 026 décimales en 1998[2], 1 000 000 000[3] en 2003 et jusqu'à 400 000 000 000 décimales en 2015[4].
Occurrences
modifierCe nombre apparaît dans diverses situations :
- dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
- en théorie des graphes[5] ;
- en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ;
- en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers strictement positifs pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/ζ(k) (cf. § « Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/ζ(3) ≃ 0,831907…[6].
Irrationalité
modifierLe nombre ζ(3) est irrationnel[7].
On ne sait pas s'il est transcendant[9].
Par comparaison, pour tout entier k > 0, le nombre ζ(2k) est transcendant car commensurable à π2k (par exemple : ζ(2) = π2/6).
Séries classiques
modifier- [10],[11] (avec , où les sont les nombres de Bernoulli).
- [12] , où λ est la fonction lambda de Dirichlet[13].
- [12] , où η est la fonction êta de Dirichlet.
- [14],[15] , où Hn est le n-ième nombre harmonique.
- [16] .
Convergence rapide
modifierIl est à noter que contrairement aux autres formules dans ce paragraphe, la première a été déterminée au XIXe siècle, dès 1830 et ce par Clausen :
Autres
modifierLes Cahiers de Ramanujan[21] ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes[22] :
- ;
- .
Srivastava[23] a collecté de nombreuses séries qui convergent vers ζ(3).
Représentations par des intégrales
modifierFormules simples
modifierLa première est issue de la définition de la fonction ζ par une série et les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :
- ;
- .
La suivante résulte du développement de Taylor de χ3(eix) en x = ±π2, où χν est la fonction chi de Legendre[réf. souhaitée] :
- .
Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan K :
- .
Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe :
De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :
Formules plus compliquées
modifier- [24] .
- [25] .
- [26] .
- [27] .
- [28] , et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma et ses dérivées, et de la fonction digamma.
Notes et références
modifier- Les 20 000 premières décimales figurent dans la suite A002117 de l'OEIS.
- Voir les messages de Sebastian Wedeniwski et Simon Plouffe : (en) S. Wedeniwski, « Apery's constant to 128,000,026 decimal digits », et (en) S. Plouffe, « The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places », sur Project Gutenberg, .
- (en) Xavier Gourdon et Pascal Sebah, « The Apery's constant : ζ(3) », sur numbers.computation.free.fr, .
- (en) Dipanjan Nag, « Calculated Apery’s constant to 400,000,000,000 Digit, A world record », .
- (en) Alan M. Frieze, « On the value of a random minimum spanning tree problem », Discrete Appl. Math., vol. 10, no 1, , p. 47-56 (DOI 10.1016/0166-218X(85)90058-7).
- Suite A088453 de l'OEIS.
- Roger Apéry, « "Irrationalité de ζ2 et ζ3" », Astérisque, vol. 61, , p. 11-13 (lire en ligne).
- Frédéric Laroche, Promenades mathématiques, Ellipses, .
- (en) Eric W. Weisstein, « Apéry's Constant », sur MathWorld.
- (la) Leonhard Euler, « Exercitationes analyticae », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 17, , p. 173-204 (lire en ligne).
- (en) H. M. Srivastava, « Some families of rapidly convergent series representations for the zeta functions », Taiwanese Journal of Mathematics, vol. 4, no 4, , p. 569-598 (lire en ligne), p. 571 (1.11).
- .
- (en) Eric W. Weisstein, « Dirichlet Lambda Function », sur MathWorld.
- (la) Leonhard Euler, « Meditationes circa singulare serierum genus », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 20, , p. 140-186 (lire en ligne) (p. 152).
- .
- (en) Jonathan M. Borwein et David M. Bradley, « Thirty-two Goldbach variations », Int. J. Number Theory, vol. 2, , p. 65-103 (arXiv math/0502034), (1.5).
- Formule trouvée par (sv) M. M. Hjortnaes, « Overføring av rekken til et bestemt integral », dans Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress, Lund (Suède), , p. 211-213, puis redécouverte et utilisée par Apéry.
- Trouvée par (en) Tewodros Amdeberhan, « Faster and faster convergent series for ζ(3) », Electron. J. Combin., vol. 3, no 1, (lire en ligne), cette série donne (asymptotiquement) 1,43 nouvelles décimales correctes par terme[réf. souhaitée].
- Trouvée par (en) Tewodros Amdeberhan et Doron Zeilberger, « Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method », Electron. J. Combin., vol. 4, no 8, (lire en ligne), cette série donne (asymptotiquement) 3,01 nouvelles décimales correctes par terme[réf. souhaitée].
- C'est cette formule, tirée de Amdeberhan et Zeilberger 1997, que Wedeniwski a utilisée pour son record de 1998 de calcul des décimales de cette constante. Cette série donne (asymptotiquement) 5,04 nouvelles décimales correctes par terme[réf. souhaitée].
- (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Part II, Springer, , chap. 14, formules 25.1 et 25.3.
- (en) S. Plouffe, « Identities inspired from Ramanujan Notebooks II », .
- Voir Srivastava 2000.
- J. L. W. V. Jensen, « Note no 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses de MM. Franel et Kluyver (de) », L'Intermédiaire des mathématiciens, vol. 2, , p. 346–347.
- (en) Frits Beukers (en), « A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3) », Bull. London Math. Soc., vol. 11, no 3, , p. 268-272 (DOI 10.1112/blms/11.3.268).
- Borwein et Bradley 2006.
- (en) Iaroslav V. Blagouchine, « Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results », The Ramanujan Journal, vol. 35, no 1, , p. 21-110 (DOI 10.1007/s11139-013-9528-5).
- (en) M. A. Evgrafov, K. A. Bezhanov, Y. V. Sidorov, M. V. Fedoriuk et M. I. Shabunin, A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian], Moscou, Nauka, , ex. 30.10.1.
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifier- Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann
- Nombres premiers issus de troncature de cette constante
Bibliographie
modifier- (en) A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland et W. B. Jones, Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, (ISBN 978-1-4020-6948-2, lire en ligne), p. 188
- (en) D. J. Broadhurst, « Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) », (arXiv math.CA/9803067)