Constante d'Apéry

la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann

En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann :

Approximation de la constante d'Apéry (ligne bleue) par les sommes partielles de la série des 1/n3 (ligne rouge).
[1].

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.

On n'en connaît pas de forme fermée.

Décimales connues

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Cette constante était connue avec 128 000 026 décimales en 1998[2], 1 000 000 000[3] en 2003 et jusqu'à 400 000 000 000 décimales en 2015[4].

Occurrences

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Ce nombre apparaît dans diverses situations :

Irrationalité

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Le nombre ζ(3) est irrationnel[7].

On ne sait pas s'il est transcendant[9].

Par comparaison, pour tout entier k > 0, le nombre ζ(2k) est transcendant car commensurable à π2k (par exemple : ζ(2) = π2/6).

Représentations par des séries

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Séries classiques

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 [10],[11]   (avec  , où les   sont les nombres de Bernoulli).
 [12]  , où λ est la fonction lambda de Dirichlet[13].
 [12]  , où η est la fonction êta de Dirichlet.
 [14],[15]  , où Hn est le n-ième nombre harmonique.
 [16]  .

Convergence rapide

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Il est à noter que contrairement aux autres formules dans ce paragraphe, la première a été déterminée au XIXe siècle, dès 1830 et ce par Clausen :

 .
 [17]  .
 [18]  .
 [19]  .
 [20]  .

Les Cahiers de Ramanujan[21] ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes[22] :

  ;
 .

Srivastava[23] a collecté de nombreuses séries qui convergent vers ζ(3).

Représentations par des intégrales

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Formules simples

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La première est issue de la définition de la fonction ζ par une série et les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :

  ;
 .

La suivante résulte du développement de Taylor de χ3(eix) en x = ±π/2, où χν est la fonction chi de Legendre[réf. souhaitée] :

 .

Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan K :

 .

Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe   :

 

De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :

 

Formules plus compliquées

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 [24]  .
 [25]  .
 [26]  .
 [27]  .
 [28]  , et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma et ses dérivées, et de la fonction digamma.

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Apéry's constant » (voir la liste des auteurs).
  1. Les 20 000 premières décimales figurent dans la suite A002117 de l'OEIS.
  2. Voir les messages de Sebastian Wedeniwski et Simon Plouffe : (en) S. Wedeniwski, « Apery's constant to 128,000,026 decimal digits », et (en) S. Plouffe, « The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places », sur Project Gutenberg, .
  3. (en) Xavier Gourdon et Pascal Sebah, « The Apery's constant : ζ(3) », sur numbers.computation.free.fr,‎ .
  4. (en) Dipanjan Nag, « Calculated Apery’s constant to 400,000,000,000 Digit, A world record », .
  5. (en) Alan M. Frieze, « On the value of a random minimum spanning tree problem », Discrete Appl. Math., vol. 10, no 1,‎ , p. 47-56 (DOI 10.1016/0166-218X(85)90058-7).
  6. Suite  A088453 de l'OEIS.
  7. Roger Apéry, « "Irrationalité de ζ2 et ζ3" », Astérisque, vol. 61,‎ , p. 11-13 (lire en ligne).
  8. Frédéric Laroche, Promenades mathématiques, Ellipses, .
  9. (en) Eric W. Weisstein, « Apéry's Constant », sur MathWorld.
  10. (la) Leonhard Euler, « Exercitationes analyticae », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 17,‎ , p. 173-204 (lire en ligne).
  11. (en) H. M. Srivastava, « Some families of rapidly convergent series representations for the zeta functions », Taiwanese Journal of Mathematics, vol. 4, no 4,‎ , p. 569-598 (lire en ligne), p. 571 (1.11).
  12. a et b Exercice corrigé sur Wikiversité.
  13. (en) Eric W. Weisstein, « Dirichlet Lambda Function », sur MathWorld.
  14. (la) Leonhard Euler, « Meditationes circa singulare serierum genus », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 20,‎ , p. 140-186 (lire en ligne) (p. 152).
  15. Exercice corrigé sur Wikiversité.
  16. (en) Jonathan M. Borwein et David M. Bradley, « Thirty-two Goldbach variations », Int. J. Number Theory, vol. 2,‎ , p. 65-103 (arXiv math/0502034), (1.5).
  17. Formule trouvée par (sv) M. M. Hjortnaes, « Overføring av rekken   til et bestemt integral », dans Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress, Lund (Suède), , p. 211-213, puis redécouverte et utilisée par Apéry.
  18. Trouvée par (en) Tewodros Amdeberhan, « Faster and faster convergent series for ζ(3) », Electron. J. Combin., vol. 3, no 1,‎ (lire en ligne), cette série donne (asymptotiquement) 1,43 nouvelles décimales correctes par terme[réf. souhaitée].
  19. Trouvée par (en) Tewodros Amdeberhan et Doron Zeilberger, « Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method », Electron. J. Combin., vol. 4, no 8,‎ (lire en ligne), cette série donne (asymptotiquement) 3,01 nouvelles décimales correctes par terme[réf. souhaitée].
  20. C'est cette formule, tirée de Amdeberhan et Zeilberger 1997, que Wedeniwski a utilisée pour son record de 1998 de calcul des décimales de cette constante. Cette série donne (asymptotiquement) 5,04 nouvelles décimales correctes par terme[réf. souhaitée].
  21. (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Part II, Springer, , chap. 14, formules 25.1 et 25.3.
  22. (en) S. Plouffe, « Identities inspired from Ramanujan Notebooks II », .
  23. Voir Srivastava 2000.
  24. J. L. W. V. Jensen, « Note no 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses de MM. Franel et Kluyver (de) », L'Intermédiaire des mathématiciens, vol. 2,‎ , p. 346–347.
  25. (en) Frits Beukers (en), « A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3) », Bull. London Math. Soc., vol. 11, no 3,‎ , p. 268-272 (DOI 10.1112/blms/11.3.268).
  26. Borwein et Bradley 2006.
  27. (en) Iaroslav V. Blagouchine, « Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results », The Ramanujan Journal, vol. 35, no 1,‎ , p. 21-110 (DOI 10.1007/s11139-013-9528-5).
  28. (en) M. A. Evgrafov, K. A. Bezhanov, Y. V. Sidorov, M. V. Fedoriuk et M. I. Shabunin, A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian], Moscou, Nauka, , ex. 30.10.1.

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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  • (en) A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland et W. B. Jones, Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, (ISBN 978-1-4020-6948-2, lire en ligne), p. 188
  • (en) D. J. Broadhurst, « Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) »,‎ (arXiv math.CA/9803067)