فضای آفین

در $\mathbb {R} ^{3}$، نیم صفحه بالایی (آبی رنگ) $P_{2}$ به دلیل این که $\mathbf {0} \notin P_{2}$ و $\mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_{2}$، یک فضای برداری نیست؛ با این حال، این مجموعه تشکیل یک زیر فضای آفین می‌دهد. صفحه $P_{2}$ هم جهت با صفحه $P_{1}$ است و $P_{1}$ (صفحه سبز رنگ) یک فضای برداریست. گرچه که $\mathbb {a}$ و $\mathbb {b}$ در $P_{2}$ قرار دارند، تفاضلشان تشکیل بردار جابجایی می‌دهد، که متعلق به $P_{2}$ نبوده و به $P_{1}$ تعلق دارد.

در ریاضیات، یک فضای آفین، ساختاری هندسی است که برخی از خصوصیات فضاهای اقلیدسی را به گونه ای که مستقل از مفهوم فاصله و اندازه‌گیری زاویه باشد، تعمیم می‌دهد، به گونه ای که تنها خواص توازی (موازی بودن) و نسبت طول پاره خط‌های موازی با هم حفظ شوند.

در یک فضای آفین، هیچ نقطه تمایز یافته‌ای به عنوان مبدأ فضا وجود ندارد؛ لذا، هیچ برداری مبدأ ثابت ندشته و هیچ برداری را نمی‌توان به‌طور منحصر به فردی به یک نقطه نسبت داد. در یک فضای برداری، تنها بردارهای جابجایی وجود دارند که به آن‌ها بردارهای انتقال یا به‌طور ساده‌تر انتقال بین نقاط فضا گفته می‌شود. لذا، تفاضل نقاط فضا معنادار خواهد بود و منجر به تولید بردار انتقال می‌گردد، اما جمع کردن نقاط فضا بی‌معنی خواهد بود. بنابر این، می‌توان با جمع کردن یک بردار انتقال به یک نقطه، به نقاط جدید رسید.

هر فضای برداری را می‌توان به عنوان یک فضای آفین دید. این امر با فراموش کردن نقش ویژه ای که بردار صفر در فضای برداری بازی می‌کند فراهم می‌گردد. در این حالت، عناصر فضای برداری را می‌توان یا به صورت نقاط فضای آفین دید، یا به صورت بردارهای جابجایی یا «انتقال ها». زمانی که یک بردار صفر را به عنوان نقطه بنگیرم، به آن مبدأ هم گفته می‌شود. اضافه کردن یک بردار ثابت به عناصر یک زیر فضای خطی از یک فضای برداری، زیر فضای آفین را تولید خواهد کرد. اغلب گفته می‌شود که این زیر فضای آفین از طریق انتقال (دور کردن آن از مبدأ) یک زیر فضای خطی با کمک بردار انقال بدست آمده‌است. در ابعاد نامتناهی، چنین زیرفضای آفینی، مجموعه جواب دستگاه خطی ناهمگن خواهد بود. بردارهای انتقال برای آن فضای آفین هم جواب‌های متناضر به دسگاه همگن خطی خواهد بود که خود زیر فضایی خطی می‌باشند. در مقایسه، زیرفضاهای خطی همیشه شامل مبدأ آن فضای برداریست.

بعد یک فضای آفین به صورت بعد فضای برداری انتقالات آن تعریف می‌شود. یک فضای آفین از بعد یک را خط آفینی می‌گویند. یک فضای آفین از بعد ۲ همان صفحه آفین است. یک زیر فضای آفین از بعد n-1 در یک فضای آفین از فضای برداری از بعد n را نیز ابرصفحهٔ آفین نامند.

منابع

• Berger, Marcel (1984), "Affine spaces", Problems in Geometry, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Affine space, Dolgachev and Shirokov
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001.
• Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (Dover edition, first published in 1989 ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
• Tarrida, Agusti R. (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Affine Space». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.