Espazio topologiko

Topologian eta matematikarekin erlazionatutako beste adarretan, ohikoa da espazio topologikoak puntuen familia eta puntu horien inguruneen bitartez definitzea, puntuak eta inguruneak erlazionatzen dituzten zenbait axioma betetzen direlarik. Espazio topologiko baten definizioa multzo teorian oinarritzen da soilik. Gainera, espazio matematikoen artean, espazio topologikoak dira jarraitutasuna, konexutasuna eta konbergentzia bezalako kontzeptuak  jasotzen dituzten espazio orokorrenak. Espazio ezagun batzuk, barietateak eta espazio metrikoak, besteak beste, ezaugarri bereziak dituzten espazio topologikoak dira. Hain orokorrak izateagatik, espazio topologikoaren kontzeptuan hainbat egoera/espazio bateratzen dira eta matematika modernoko edozein adarretan agertzen dira. Espazio topologikoak aztertzen dituen matematikaren adarrari topologia orokorra deritzo.

Geometria euklidearrean bi objektu berdinak direla esaten dugu objektu bat bestean bilakatu dezakegunean isometria baten bitartez, hau da, angelua, luzera, bolumena,… gordetzen dituen aplikazio baten bitartez.

Topologian ordea, bi objektu “berdinak” direla esaten da zentzu orokorrago batean. Bi objektu berdinak izan daitezen zati, ebakidura, zulo,... kopuru berdinak izan behar dituzte.

Bada topologoen artean ezaguna den txiste bat. Txiste horren arabera, topologo bat ez litzateke gai izango gosaltzen dagoen bitartean katilua eta erroskila desberdintzeko, izan ere, topologiaren ikuspuntutik “berdinak” baitira.

Esandako guztia hizkuntza matematikora eramanda, bi espazio topologiko berdinak dira homeomorfoak direnean, hau da, bi espazioen artean homeomorfismo deritzon aplikazio bat existitzen denean (aurrerago definizioak). Intuitiboki bi espazio topologiko homeomorfoak dira bata bestean deforma badaiteke ezer moztu ezta itsatsi gabe. Beraz, hizkuntza matematikoan esanda, erroskila eta katilua homeomorfoak dira.

Historia

1735 inguruan, Leonhard Eulerrek poliedro ganbilaren erpin, ertz eta aurpegi kopurua, eta, beraz, grafo lauarena, erlazionatzen duen formula $V-E+F=2$ aurkitu zuen. Formula horren azterketak eta orokortzeak (zehazki Cauchy (1789-1857) eta L'Huilier (1750-1840) autoreen aldetik) topologiaren azterketa bultzatu zuten. 1827an, Carl Friedrich Gauss-ek Azalera kurboen ikerketa orokorrak argitaratu zuen, zeinak 3. atalean azalera kurbatua ulermen topologiko modernoaren antzera definitzen duen: «Esaten da azalera kurbatu batek kurbadura jarraitua duela A puntuetako batean, baldin eta A-tik gainazaleko puntuetaraino trazatutako lerro zuzen guztien norabidea, A-tik distantzia infinituki txikian, A-tik igarotzen den plano beretik infinituki gutxi desbideratzen bada».

Hala ere, 1850eko hamarkadaren hasieran, Riemannek egin zuen lana arte, azalerak beti tokiko ikuspegitik tratatzen ziren (gainazal parametrikoak) eta topologia-kontuak ez ziren inoiz aintzat hartzen. Badirudi Möbius eta Jordan direla azaleren topologiaren arazo nagusia (konpaktuak) aldaezinak (ahal dela zenbakizkoak) aurkitzea dela azaleren baliokidetasuna erabakitzeko, hau da, bi azalera homeomorfoak diren ala ez erabakitzeko.

Felix Kleinek argi eta garbi definitzen du gaia bere Erlangen-en Programa (1872) lanean: etengabeko eraldaketa arbitrarioaren aldaezin geometrikoak, geometria moduko bat. Topologia terminoa Johann Benedict Listing-ek sartu zuen 1847an, nahiz eta urte batzuk lehenago erabilia zuen Analysis situs terminoaren ordez. Zientzia horren oinarria, edozein dimentsiotako espazio baterako, Henri Poincarék sortu zuen. Gai honi buruzko lehen artikulua 1894an agertu zen. 1930eko hamarkadan, James Waddell Alexander II.ak eta Hassler Whitneyk lehen aldiz adierazi zuten azalera bat espazio topologikoa dela, eta tokian tokian plano euklidiar bat bezala dela.

Espazio topologikoak Felix Hausdorffek definitu zituen lehen aldiz 1914an, Multzoen teoriaren printzipioak izeneko seminalean. Espazio metrikoak 1906an definitu zituen Maurice Fréchetek, baina Hausdorff izan zen espazio metriko terminoa ezagun egin zuena (alemanez, metrischer Raum).

Definizioa

Topologiaren kontzeptua oso erabilgarria da eta horri buruzko hainbat definizio baliokide daude. Horregatik, norberak aukera dezake erabiliko duen axiomatizazioa aztertu beharrekoaren arabera. Jarraian, topologiak deskribatzeko era nagusiak ezagutuko ditugu:

Multzo irekien bidezko definizioa

Izan bedi X multzo bat; X-ren elementuei puntu deritze, hala ere edozein objektu matematiko izan daitezke. Espazio topologikoa bikote ordenatu bat da (X,τ ) non X multzo bat den eta , τ X multzoaren azpimultzoen familia, hurrengo axiomak betetzen dituena:

( τ topologiaren elementuek multzo ireki izena dute eta τ familiari X-ren gaineko topologia esaten zaio.)

1.- Multzo hutsa eta X τ  familian daude.

2.- Multzo irekien bildura (finitua zein infinitua) multzo irekia da.

3.- Multzo irekien arteko ebakidura finitua ere multzo irekia da.

Adibideak:

1.- Edozein multzoren gainean topologia indiskretua ( edo topologia nabaria) defini dezakegu. Espazio topologiko horretan ireki bakarrak multzo hutsa eta espazio osoa dira.

2.- Era berean, edozein multzori elkar diezaiokegun beste topologia bat topologia diskretua da. Topologia horretan irekiak multzoaren azpimultzo guztiak dira. Hau da, τ = P(x)

3.- Izan bedi X={1,2,3,4}, eta τ ={$\varnothing$,{1,2,3},{1,2,3,4}} X-ren sei azpimultzo horiek osatutako familia. Familia horrek goiko hiru axiomak betetzen dituenez, X-ren gaineko topologia bat da.

4.-Izan bedi X=Z, zenbaki osoen multzoa. Izan bedi τ zenbaki osoen azpimultzo finituek eta Z multzoak osatutako familia. τ ez da topologia bat izango, izan ere 0 barne ez duten multzo finituen bildura mutzo infinitua da, baina multzo infinitu hori ez da Z, eta ondorioz ez dago τ familian.

5.- Sirpinski-ren espazioa, diskretua ez den espazio sinpleena da. Topologia horretan, multzo hutsaz eta X multzoaz gain dagoen ireki bakarra X multzoko elementu batek osatutako atomo bat da.

6.- Edozein multzo infinituri topologia kofinitua elkar diezaiokegu. Espazio topologiko horretan multzo irekiak multzo hutsa eta osagarri finitua duten multzoak dira. Multzo infinitu batean defini daitekeen Frechet erako topologiarik txikiena da. Ohartu multzo finitu baten kasuan, topologia kofinitua topologia diskretuarekin bat datorrela.

7.- Edozein multzo ez- kontagarriri elkar diezaiokegun beste topologia bat topologia kokontagarria da. Topologia horretan multzo irekiak multzo hutsa eta osagarri kontagarria duten multzoak dira. Topologia hau oso erabilgarria da kontradibideak bilatzeko egoera askotan.

8.-R multzoaren gaineko topologia naturala ohiko topologia da. Ohiko topologia tarte irekien bidez sortzen da. Tarte ireki guztien familiak topologia horren oinarri bat osatzen du. Horrekin esan nahi da multzo ireki guztiak oinarriko multzoen bildurak direla. Hau da, multzo bat irekia da multzoko puntu guztietarako puntu hori barnean duen tarte ireki bat existitzen bada multzotik ateratzen ez dena.

9.- R multzoaren gainean ere Sorgenfrey-ren topologia (behe-limitearen topologia izenarekin ere ezaguna)  defini dezakegu. Topologia horretan oinarriko multzo irekiak [a,b) erako tarte erdi-irekiak dira.

Aurreko adibideek erakusten dutenez, multzo beraren gainean hainbat topologia desberdin defini daitezke. Batzuetan topologia horiek konparagarriak dira. $\tau _{1}$  topologiako multzo guztiak $\tau _{2}$ topologian ere badaudenean, hau da, $\tau _{1}$ $\tau _{2}$- ren subfamilia bat denean ($\tau _{1}$$\subseteq$ $\tau _{2}$) $\tau _{2}$ $\tau _{1}$ baino finagoa dela esaten da. Adibidez, 9. adibidean, R-ren gainean definitutako sorgenfreyren topologia ohiko topologia baino finagoa da.

Izan bedi (X,τ) espazio topologikoa. F$\subset$X azpimultzo itxia dela esango dugu bere osagarria, X-F, irekia bada.

(X,τ) espazio topologikoaren itxien familia normalean C idatziko dugu, hau da:

C={F$\subseteq$X : X-F$\in$τ}

Azpimultzo itxiek ondoko propietateak betetzen dituzte:

($C_{1}$) Multzo hutsa eta X itxiak dira.

($C_{2}$) Azpimultzo itxien ebakidura azpimultzo itxia da.

($C_{3}$)Azpimultzo itxien bildura finitua azpimultzo itxia da.

Inguruneen bidezko definizioa.

Izan bedi X multzo bat. Izan bedi N: X -> P(P(X)) x elementu bakoitzari X-ren azpimultzoen familia ez-huts bat elkartzen dion funtzioa. N(x) familiako elementuek x-ren ingurune izena dute. N funtzioa ingurune topologia deitzen da honako axioma hauek betetzen baditu

1.- N x-ren ingurune bat bada (hau da, N$\in$N(x)), orduan x$\in$N. Beste era batera esanda, puntu bakoitza bere ingurune guztietan dago.

2.- N X-ren azpimultzoa bada eta x-ren ingurune bat barruan badu, orduan N ere x-ren ingurune bat da. Hau da, x-ren ingurune bat parte duen X-ren edozein azpimultzo x-ren ingurunea da baita ere.

3.- x-ren bi inguruneren ebakidura x-ren ingurunea da baita ere.

4.- x-ren edozein N ingurunek x-ren ingurune den M azpimultzo bat du parte, non N M ren puntu guztien ingurunea izango den.

Ohartu kasu horretan, bere puntu guztien ingurune diren X-ren azpimultzoek X-ren gaineko topologia bat osatzen dutela:

τ={U$\subseteq$X : $\forall$x$\in$U, U$\in$N(x)}

Inguruneei buruzko lehenengo hiru axiomen esanahia argia da. Laugarren axiomak, ordea, oso erabilera garrantzitsua dauka teoriaren egituran. Erabilera hori X-ren puntu desberdinen inguruneak erlazionatzean datza.

Inguruneekin lotutako adibide ohikoenetako bat R zuzen errealarena da, non R-ren N azpimultzo bat x zenbaki erreal baten ingurune izango den baldin eta N multzoak x barruan duen tarte ireki bat parte badu.

Beste aldetik, espazio topologiko baten multzo irekiak ematen direnean, 1-4 axiomak beteko dituzten inguruneak berreskuratu daitezke modu honetan:

N x-ren ingurunea da baldin eta soilik baldin x puntua barruan duen U ireki bat N-ren parte bada.

Beraz, inguruneek guztiz zehaztuta uzten dute topologia, eta alderantziz.

Aurreko metodo horietaz gain, badaude beste hainbat modu baliokide espazio topologikoak definitzeko. Hau da, aztertu ditugun, ireki, itxi, edota ingurune kontzeptuak beste abiapuntu batzuk hartuta ere berreskura daitezke: itxitura- eragileak, barrualde- eragileak,…

Funtzio jarraituak

Espazio topologikoak dira aplikazio jarraituak definitu daitezkeen testuinguru zabalena. f: X -> Y bi espazio topologikoren arteko funtzio bat jarraitua dela esaten da $\forall$x$\in$X eta f(x)-ren N ingurune guztietarako existitzen bada x-ren M ingurune bat non f(M)$\subseteq$N den. Definizio hori analisiko ohiko definizioarekin erraz erlazionatu dezakegu. Aurreko definizioaren parekoa da honako definizio hau: f jarraitua da ireki guztien aurreirudiak irekiak badira. Definizio horren ideia da konturatzea ez dagoela inolako “jauzirik” eta “banaketarik” funtzioan. Homeomorfismo bat jarraitua den eta alderantzizkoa ere jarraitua duen bijekzio bat da. Bi espazio topologiko homeomorfoak direla esaten da existitzen bada bien artean funtzio bat homeomorfismoa dena. Topologiaren ikuspuntutik, espazio homeomorfoak bereiztu ezinak dira. (Artikuluaren hasieran aipatutako katilu eta erroskilarekin gertatzen den era berean).

Espazio topologikoen adibide garrantzitsua

Artikuluaren hasieran aipatu bezala, badaude matematikan hainbat egitura ezagun bereziki espazio topologikoak ere badirenak. Egitura horietako bat espazio metrikoak dira.

Espazio metrikoek metrika bat daukate definituta, puntuen arteko distantziaren nozio zehatza.

Espazio metriko guztietatik topologia metriko bat lor dezakegu, non oinarriko multzo irekiak metrikak definitutako bola irekiak baitira.

$R^{n}$multzoaren ohiko topologia, ohiko metrikak definitzen duen topologia da, hau da, oinarriko irekitzat bola irekiak dituen topologia. Era berean, C, zenbaki konplexuen multzoari eta $C^{n}$ multzoari ohiko topologia elkar dakieke non oinarriko irekiak bola irekiak baitira baita ere.

Topologien eraikuntza

Modu ezberdinak daude espazio topologiko berriak definitzeko. Erabilienak azpiespazioak,  biderkadura espazioak edota zatidura espazioak dira.

Espazio topologiko baten azpimultzo bakoitzari azpiespazio topologia elkartu ahal zaio. Azpiespazio topologia horretan multzo irekiak espazio handiko irekien eta azpimultzoaren arteko ebakidurak dira. Irekien familia horrek topologia izateko baldintzak betetzen ditu eta ireki horien bidez lortutako topologiari topologia erlatibo deritzo.

Biderkadura espazioak erabiltzen baditugu topologiak sortzeko, espazio topologikoen familia bat behar dugu (finitua zein infinitua).Espazio topologiko horien biderkadurari biderkadura topologia elkartu ahal zaio. Faktore bakoitzaren azpimultzo irekien aurreirudiak proiekzio koordenatuen bidez hartuz gero, aurreirudi guzti horiek azpioinarri bat osatzen dute. Azpioinarri horretatik biderkadura topologia lor dezakegu, eta horrela biderkadura espazioa lortu. Bereziki, biderkadura finituetan, biderkadura topologiaren oinarria faktore bakoitzean irekiak direnmultzoen biderkadura guztiek osatzen dute.

Zatidura espazioen bidezko topologien eraikuntza, zatidura multzo bati egitura topologikoa ematean datza. Horretarako, proiekzio naturala jarraitua izatea eskatuko dugu. Hau da, (X,τ) espaziotik zatidura espaziora doan aplikazioa jarraitua izan behar da. Badakigu zatidura multzoari topologia indiskretua elkartzen badiogu proiekzio naturala jarraitua izango dela, baina topologia hori baino finagoa den topologia egokiagoren bat aurkitu nahi dugu. Horretarako, eremuko topologian aurreirudi irekia duten zatidura multzoaren azpimultzo guztiak hartuko ditugu topologia berriko multzo ireki gisa. Multzo ireki horien familiak osatuko du zatidura topologia, eta zatidura multzoarekin elkartzean, zatidura espazioa lortuko dugu.

Espazio topologikoen eraikuntza           

Espazio topologiko asko beraien artean homeomorfoak diren taldeetan sailka ditzakegu propietate topologikoak erabiliz. Propietate topologikoak homeomorfismoen bidez gordetzen diren propietateak dira. Beste era batera esanda,  bi espazio topologiko homeomorfoak badira, espazio biek propietate topologiko berberak izango dituzte. Beraz, bi espazio topologiko homeomorfoak ez direla frogatzeko, nahikoa da biek partekatzen ez duten propietate topologiko bat aurkitzea.  Baina adi, bi espaziok propietate topologiko berberak izateak ez du bermatzen homeomorfoak izango direnik. Propietate topologikoen adibide dira trinkotasuna, konexutasuna, metrizagarritasuna eta zenbait banantze axioma.

Bibliografia

• Armstrong, M. A. (1983)[1979]. Basic Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-287-90839-0.
• Biritxinaga Gaztelurrutia, Edurne, Begoña Carrascal Platas, Mari Carmen Castillo Aranburu, Maria Jesus Esteban, Arantza Laborda Otadui, eta Mari Jose Zarate Azkuna). Espazio topologikoak. (UEU, 1978)
• Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Spriger; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
• Brown, Ronald, Topology and Groupoids, Booksurge (2006) ISBN 1-4196-2722-8 (3rd edition of differently titled books)
• Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969).
• Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013). A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces. Springer.
• Gauss, Carl Friedrich; General investigations of curved surfaces, 1827.
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-387-94327-7.
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

Kanpo estekak

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Topological space", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,ISBN 978-1-55608-010-4
• "Topological space". PlanetMath.

• Datuak: Q179899
• Multimedia: Topology / Q179899