Erroaren irizpidea

Matematikan, erroaren irizpidea edo Cauchyren irizpidea, serie baten konbergentzia aztertzeko metodo bat da.

Irizpideak dio, seriea absolutuki konbergentea dela kantitate hori bat baina txikiagoa bada eta dibergentea izango dela bat baino handiagoa denean. Oso erabilgarria izan daiteke potentzia-seerietan.$C=\lim _{n\to \infty }\sup {\sqrt[{n}]{a_{n}}}$

Irizpideak honako hau ezartzen du:

• C>1, seriea absolutuki konbergentea izango da.
• C<1 seriea dibergentea izango da.
• C=1 eta $|a_{n}|$>1 n batetik aurrera, seriea dibergentea izango da.
• Beste kasu batzuetan irizpideak ez garamatza ezta ondorio batetara ere.

Serie batzuetan C=1 den kasuetan eta seriea kobergentea denean, adibidez, $\Sigma 1/n^{2}$.

Potentzia-serieetan aplikazioa

Irizpide hau potentzia-serieetan erabili daiteke

$f(z)=\sum _{n=o}^{\infty }C_{n}(z-p)^{n}$

non $C_{n}$ koefizienteak diren, p zenbaki konplexuak eta z argumentua aldagai konplexua den.

Seriearen terminoak $a_{n}=c_{n}(z-p)a^{n}$ horrela emanda etorriko lirateke. Orduan erroaren irizpidea aplikatzen zaio $a_{n}$-ri gorago ikusi dugun bezala. Kontutan izan behar dugu batzuetan horrelako serieei 'p-ren inguruko' potentzia-serie esaten zaiela, konbergentzia-erradioa p ardatz duen tarte edo disko handieneko R erradioa baita, eta horrela, serieak z puntu guztietarako bat egiten du tartearen edo diskoaren barruan. Korolario gisa erroaren irizpidea konbergentzia erradioarekin lortzen da hain zuzen ere $1/\lim _{n\to \infty }\sup {\sqrt[{n}]{\mid }}C_{n}\mid$, kontutan izanik emaitza $\infty$ izango dela izendatzailea 0 izanik.

Erreferentziak

• Knopp, Konrad (1956). «§ 3.2». Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). «§ 2.35». A Course in Modern Analysis (fourth edition edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3.

Kanpo estekak

• Datuak: Q846705