Mathematics, Matter and Method

"Mathematics, Matter and Method" on Hilary Putnami filosoofiliste kirjutiste kogumik, väljaande "Philosophical Papers" 1. köide. Selle andis välja kirjastus Cambridge University Press 1975. aastal, teine trükk ilmus 1985.

Kokkuvõte

Tõesus ja paratamatus matemaatikas (Truth and necessity in mathematics)

Selle kirjutise kandis Putnam ette Viini ülikoolis 3. juunil 1964.

Formaalsete teaduste filosoofia ja empiiriliste teaduste filosoofia vahel on seos. Loogilisel empirismil oli kaks põhiprintsiipi: 1) filosoofia traditsioonilised küsimused on pseudoprobleemid, täiesti mõttetud ja 2) formaalsete teaduste (loogika ja matemaatika) teoreemid on analüütilised, mitte täpselt Immanuel Kanti mõttes (analüütiline otsustus), vaid selles mõttes, et nad "ei ütle midagi", üksnes väljendavad meie keelereegleid. Tänapäeva analüütilised filosoofid hakkavad looma uut teadusfilosoofiat, mis samuti tahab olla mittemetafüüsiline, kuid ei tunnista loogilise empirismi põhiprintsiipe. Positivistliku matemaatikakäsituse eitamine on uue teadusfilosoofia seisukohast väga tähtis.

Mis eristab matemaatiliselt paratamatuid väiteid teistest tõdedest? Putnam pakub välja, et asi pole üldse "ontoloogias" (seotud muutujate piirkonnas), sõnavaras ega üldse milleski mõistlikus mõttes keelelises. Levinud vaate järgi erineb matemaatika teistest teadusharudest selle poolest, et jutt on "matemaatilistest objektidest". See on aga pinges Bertrand Russellilt ja Gottlob Fregelt pärineva ideega, et loogika ja matemaatika vahel pole selget piiri: loogikal pole ju "ontoloogiat" (Putnam arvab loogika alt välja hulgateooria ja kõrgemat järku kvantifikatsiooniteooria).

Pole raske leida matemaatiliselt tõeseid väiteid, milles kvantifitseeritakse ainult üle materiaalsete objektide, aistingute või mis tahes objektide. Putnam toob näiteks ühe teoreemi Turingi masinate kui füüsiliste objektide kohta ja ühe teoreemi sümbolite lõplike jadade füüsiliste üleskirjutuste kohta. Kuigi kogu matemaatikat pole õnnestunud tõlkida "nominalistlikku keelde", saab selles väljendada olulist osa matemaatikast.

Võidakse vastu väita, et vähemalt nende väidete tõestused peavad osutama arvudele, seega matemaatilistele objektidele, näiteks kasutatakse matemaatilise induktsiooni printsiipi. Aga seda printsiipi võib väita ja ilmseks pidada otseselt füüsiliste üleskirjutuste kohta. (Ei ole tarvis lähtuda printsiibist arvude kohta ning tuletada printsiip üleskirjutuste kohta üleskirjutuste Gödeli numeratsiooni abil. Pealegi ei saa seda printsiipi eeldamata tõestada, et igal üleskirjutusel on Gödeli number.) Ja induktsioonireegel üleskirjutuste kohta on võimalik Goodmani indiviididearvutuse abil ka tuletada. Nii et vastuväide langeb ära, ning osutamine abstraktsetele "entiteetidele" ei ole matemaatikale olemuslik. (Raamatus "Set Theory and Its Logic" näitas Williard Van Orman Quine, et matemaatilise induktsiooni saab ümber teha ainult lõplike hulkade tarvis. Analoogselt saab luua üleskirjutuste teooria, milles lõplike hulkade asemel on lõplikud tervikud. Peab märkima, et induktsiooniprintsiip, mis Russelli väitel on analüütiline, nimelt et iga pärilik omadus, mis on nullil, on igal arvul, on tühi, kui puuduvad "väljaeraldamise aksioomid", mis väidavad, et konkreetsed tingimused defineerivad "omadusi" või hulki. "Väljaeraldamise aksioomi" osa etendab lõplike tervikute teoorias väide, et kui x on tervik, siis on olemas tervik y, mis saadakse kõigi nende P-de liitmisel, mis on x-i osad. Kui võtta see aksioomiskeemiks, siis saab tuletada matemaatilise induktsiooni reegli "lõplike üleskirjutuste" jaoks, defineerides lõpliku üleskirjutuse analoogselt Quine'i arvudefinitsiooniga.) Tundub, et matemaatikat iseloomustab teatud arutlemisstiil, mis pole olemuslikult seotud mingi "ontoloogiaga".

Matemaatiliselt tõeseid väiteid ei erista teistest väidetest ka sõnavara. On see midagi keelelist? "Mitte keegi ei joonista kunagi tasapinnalist kaarti, mille värvimiseks on tarvis viis või rohkem värvi (naaberpiirkonnad ei tohi olla sama värvi)." Kas keelereeglid otsustavad, kas see väide on tõene matemaatilistel, mitte empiirilistel põhjustel? Seda ei otsusta ei Noam Chomsky ja tema järgijate generatiivse grammatika reeglid ega Paul Ziffi staatuseregulaarsused ega Jerrold Katzi ja Jerry Fodori semantilised reeglid. Mõned filosoofid näikse arvavat, et selleks on mingid ainult filosoofide avastatavad "süvareeglid", millesse Putnam ei usu. Putnam juhib tähelepanu sellele, et kui on olemas reglid, mis otsustavad, kas toodud väide on matemaatiliselt või empiiriliselt tõene või väär, siis need lahendavad ka neljavärviprobleemi. Tõepoolest, kui väide on matemaatiliselt tõene, siis probleem on lahendatud positiivselt, kui aga väide on empiiriliselt tõene, siis peab kirjeldatud kaardi joonistamine olema matemaatiliselt võimalik, nii et probleem on lahendatud negatiivselt. Ja üldse, kui matemaatilise ja empiirilise tõesuse või vääruse eristamine on võimalik keelereeglite abil, siis vähemalt kombinatoorikas lahendavad keelereeglid kõik matemaatilised probleemid.

Kahtlane, kas keelereeglid saavad isegi otsustada, kas mingi väide kuulub puhtasse matemaatikasse.