Constante de Conway

Soluciones del polinomio de Conway en el plano complejo.

La constante de Conway es una constante matemática relacionada con la secuencia mira-y-di,​ una sucesión matemática en la que cada nuevo número se genera leyendo en voz alta la cantidad de dígitos iguales consecutivos del número anterior. La constante de Conway es la tasa de crecimiento del número de cifras de la sucesión mira-y-di, también conocida como desintegración audioactiva (en inglés audioactive decay) o Look-and-Say ("Mira y di"). Por ejemplo, si $x_{0}=1$ ("un uno"), los siguientes términos serán:​

$x_{1}=11$ ("dos unos --> 21")

$x_{2}=21$ ("un dos, un uno --> 1211")

$x_{3}=1211$ ("un uno, un dos, dos unos --> 111221")

$x_{4}=111221$ ("tres unos, dos doses, un uno --> 312211")

$x_{5}=312211$ ("un tres, un uno, dos doses, dos unos --> 13112221")

etc.

El proceso es similar al empleado en el sistema de compresión Run-length encoding.

Independientemente del término inicial $x_{o}$ elegido (con la única salvedad del 22), la sucesión diverge y la razón entre el número de cifras de $x_{n}$ y $x_{n-1}$ tiende a un valor fijo que es la constante de Conway, $\lambda \approx 1,\!303577269$.​ Esta constante es un número irracional algebraico, y de hecho es la única solución real positiva de la siguiente ecuación polinómica de grado 71:

$x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+$

$2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-$

$7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-$

$3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-$

$7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-$

$2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0$

Al tomar 22 ("dos doses") como término inicial, la sucesión es degenerada porque todos los términos siguientes volverán a ser 22.

«Desintegración audioactiva»

John Conway calificó esta sucesión de «desintegración audioactiva» (audioactive decay), un juego de palabras sobre la desintegración radiactiva, poniendo énfasis en el comportamiento de los términos de la sucesión. Conway mostró que, a partir de un determinado punto, casi todos los términos de la sucesión pueden descomponerse en 92 subtérminos, a los que llamó elementos, por analogía con los elementos químicos. Estos elementos funcionan como entidades independientes, no interactúan con los demás dígitos del término y se descomponen en otro u otros elementos en el siguiente término de la sucesión.

Por ejemplo, el elemento más simple, llamado hidrógeno, es la secuencia estable $22$. El manganeso, $3113322112$, da lugar a $132123222112$, que a su vez se descompone en los elementos prometio ($132$) y sodio ($123222112$).

La lista de elementos está confeccionada de tal manera que, empezando por el último elemento, el uranio ($3$), cada uno de los elementos anteriores hace su aparición a lo largo de sucesivas iteraciones hasta llegar al primero, el hidrógeno, al cabo de 91 iteraciones.

Z	Elemento	Proviene de	Se descompone en	Desarrollo	Longitud
1	Hidrógeno	7 elementos: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta	1 elemento: H (estable)	22	2
2	Helio	1 elemento: Li	5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, Li	13112221133211322112211213322112	32
3	Litio	2 elementos: He, Be	1 elemento: He	312211322212221121123222112	27
4	Berilio	1 elemento: B	3 elementos: Ge, Ca, Li	111312211312113221133211322112211213322112	42
5	Boro	1 elemento: C	1 elemento: Be	1321132122211322212221121123222112	34
6	Carbono	1 elemento: N	1 elemento: B	3113112211322112211213322112	28
7	Nitrógeno	1 elemento: O	1 elemento: C	111312212221121123222112	24
8	Oxígeno	1 elemento: F	1 elemento: N	132112211213322112	18
9	Flúor	1 elemento: Ne	1 elemento: O	31121123222112	14
10	Neón	1 elemento: Na	1 elemento: F	111213322112	12
11	Sodio	2 elementos: Mg, As	1 elemento: Ne	123222112	9
12	Magnesio	1 elemento: Al	2 elementos: Pm, Na	3113322112	10
13	Aluminio	1 elemento: Si	1 elemento: Mg	1113222112	10
14	Silicio	2 elementos: P, Mn	1 elemento: Al	1322112	7
15	Fósforo	1 elemento: S	2 elementos: Ho, Si	311311222112	12
16	Azufre	1 elemento: Cl	1 elemento: P	1113122112	10
17	Cloro	1 elemento: Ar	1 elemento: S	132112	6
18	Argón	1 elemento: K	1 elemento: Cl	3112	4
19	Potasio	1 elemento: Ca	1 elemento: Ar	1112	4
20	Calcio	13 elementos: He, Be, Sc, Ga (2 veces), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re	1 elemento: K	12	2
21	Escandio	1 elemento: Ti	5 elementos: Ho, Pa, H, Ca, Co	3113112221133112	16
22	Titanio	1 elemento: V	1 elemento: Sc	11131221131112	14
23	Vanadio	1 elemento: Cr	1 elemento: Ti	13211312	8
24	Cromo	1 elemento: Mn	1 elemento: V	31132	5
25	Manganeso	1 elemento: Fe	2 elementos: Cr, Si	111311222112	12
26	Hierro	1 elemento: Co	1 elemento: Mn	13122112	8
27	Cobalto	5 elementos: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd	1 elemento: Fe	32112	5
28	Níquel	1 elemento: Cu	2 elementos: Zn, Co	11133112	8
29	Cobre	1 elemento: Zn	1 elemento: Ni	131112	6
30	Zinc	3 elementos: Ni, Ga, Sm	1 elemento: Cu	312	3
31	Galio	1 elemento: Ge	6 elementos: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn	13221133122211332	17
32	Germanio	3 elementos: Be, As, Re	2 elementos: Ho, Ga	31131122211311122113222	23
33	Arsénico	1 elemento: Se	2 elementos: Ge, Na	11131221131211322113322112	26
34	Selenio	1 elemento: Br	1 elemento: As	13211321222113222112	20
35	Bromo	1 elemento: Kr	1 elemento: Se	3113112211322112	16
36	Kriptón	1 elemento: Rb	1 elemento: Br	11131221222112	14
37	Rubidio	1 elemento: Sr	1 elemento: Kr	1321122112	10
38	Estroncio	1 elemento: Y	1 elemento: Rb	3112112	7
39	Itrio	1 elemento: Zr	2 elementos: Sr, U	1112133	7
40	Zirconio	1 elemento: Nb	4 elementos: Y, H, Ca, Tc	12322211331222113112211	23
41	Niobio	1 elemento: Mo	2 elementos: Er, Zr	11131221133221131112211312221	29
42	Molibdeno	1 elemento: Tc	1 elemento: Nb	13211322211312113211	20
43	Tecnecio	2 elementos: Zr, Ru	1 elemento: Mo	311322113212221	15
44	Rutenio	1 elemento: Rh	3 elementos: Eu, Ca, Tc	132211331222113112211	21
45	Rodio	1 elemento: Pd	2 elementos: Ho, Ru	311311222113111221131221	24
46	Paladio	1 elemento: Ag	1 elemento: Rh	111312211312113211	18
47	Plata	1 elemento: Cd	1 elemento: Pd	132113212221	12
48	Cadmio	1 elemento: In	1 elemento: Ag	3113112211	10
49	Indio	1 elemento: Sn	1 elemento: Cd	11131221	8
50	Estaño	1 elemento: Sb	1 elemento: In	13211	5
51	Antimonio	1 elemento: Te	2 elementos: Pm, Sn	3112221	7
52	Telurio	1 elemento: I	3 elementos: Eu, Ca, Sb	1322113312211	13
53	Yodo	1 elemento: Xe	2 elementos: Ho, Te	311311222113111221	18
54	Xenón	1 elemento: Cs	1 elemento: I	11131221131211	14
55	Cesio	1 elemento: Ba	1 elemento: Xe	13211321	8
56	Bario	1 elemento: La	1 elemento: Cs	311311	6
57	Lantano	1 elemento: Ce	1 elemento: Ba	11131	5
58	Cerio	1 elemento: Pr	4 elementos: La, H, Ca, Co	1321133112	10
59	Praseodimio	1 elemento: Nd	1 elemento: Ce	31131112	8
60	Neodimio	1 elemento: Pm	1 elemento: Pr	111312	6
61	Prometio	5 elementos: Mg, Sb, Sm, Er, Bi	1 elemento: Nd	132	3
62	Samario	1 elemento: Eu	3 elementos: Pm, Ca, Zn	311332	6
63	Europio	4 elementos: Ga, Ru, Te, Gd	1 elemento: Sm	1113222	7
64	Gadolinio	1 elemento: Tb	3 elementos: Eu, Ca, Co	13221133112	11
65	Terbio	1 elemento: Dy	2 elementos: Ho, Gd	3113112221131112	16
66	Disprosio	1 elemento: Ho	1 elemento: Tb	111312211312	12
67	Holmio	8 elementos: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn	1 elemento: Dy	1321132	7
68	Erbio	2 elementos: Nb, Tm	2 elementos: Ho, Pm	311311222	9
69	Tulio	1 elemento: Yb	3 elementos: Er, Ca, Co	11131221133112	14
70	Ytterbio	1 elemento: Lu	1 elemento: Tm	1321131112	10
71	Lutecio	1 elemento: Hf	1 elemento: Yb	311312	6
72	Hafnio	2 elementos: He, Ta	1 elemento: Lu	11132	5
73	Tántalo	1 elemento: W	5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, W	13112221133211322112211213322113	32
74	Wolframio	2 elementos: Ta, Re	1 elemento: Ta	312211322212221121123222113	27
75	Renio	1 elemento: Os	3 elementos: Ge, Ca, W	111312211312113221133211322112211213322113	42
76	Osmio	1 elemento: Ir	1 elemento: Re	1321132122211322212221121123222113	34
77	Iridio	1 elemento: Pt	1 elemento: Os	3113112211322112211213322113	28
78	Platino	1 elemento: Au	1 elemento: Ir	111312212221121123222113	24
79	Oro	1 elemento: Hg	1 elemento: Pt	132112211213322113	18
80	Mercurio	1 elemento: Tl	1 elemento: Au	31121123222113	14
81	Talio	1 elemento: Pb	1 elemento: Hg	111213322113	12
82	Plomo	1 elemento: Bi	1 elemento: Tl	123222113	9
83	Bismuto	1 elemento: Po	2 elementos: Pm, Pb	3113322113	10
84	Polonio	1 elemento: At	1 elemento: Bi	1113222113	10
85	Ástato	1 elemento: Rn	1 elemento: Po	1322113	7
86	Radón	1 elemento: Fr	2 elementos: Ho, At	311311222113	12
87	Francio	1 elemento: Ra	1 elemento: Rn	1113122113	10
88	Radio	1 elemento: Ac	1 elemento: Fr	132113	6
89	Actinio	2 elementos: Ga, Th	1 elemento: Ra	3113	4
90	Torio	1 elemento: Pa	1 elemento: Ac	1113	4
91	Protactinio	4 elementos: He, Sc, Ta, U	1 elemento: Th	13	2
92	Uranio	1 elemento: Y	1 elemento: Pa	3	1

Referencias

• Datos: Q1129511