Análogo dimensional del Cubo de Rubik

Un rompecabezas de teseracto 4 x 4 x 4 x 4, una de las "caras" permanece oculta a la vista en su representación gráfica

Un Análogo dimensional del Cubo de Rubik es un rompecabezas cuya geometría y funcionamiento son análogos a los del Cubo de Rubik; es decir, puede ser un hipercubo de cualquier número de dimensiones. Estos análogos tienen $n^{d}$ piezas diferentes, donde d es el número de dimensiones del hipercubo y n es el número partes en las que se divide cualquiera de las líneas que unen dos vértices del mismo. El conocido cubo de Rubik es un hipercubo con $3^{3}$ = 27 piezas cúbicas, de las cuales una es invisible por estar en el centro del cubo. Dado que la mecánica de un objeto de cuatro dimensiones o más no puede ser representada físicamente, todos estos rompecabezas análogos existen únicamente como software, siendo el más popular el programa "Magic Cube 4d".

Estructura

Cada uno de los análogos tiene sus piezas cubiertas por estampitas de colores, las cuales tienen $d-1$ dimensiones. Sin embargo, sólo un subconjunto de las piezas muestran sus estampitas al exterior; es decir, hay piezas con un distinto número de estampitas visibles en d dimensiones. Por ejemplo, en el Cubo de Rubik existen piezas que tienen 0, 1, 2, y 3 estampitas. En general los análogos contienen $d+1$ tipos distintos de piezas. Para cada tipo distinto de piezas se puede conocer el número total de ellas en el rompecabezas a través de la fórmula

$2^{s}\cdot {}_{d}\!C_{s}$

Donde d es el número de dimensiones, s es el número de estampitas de un tipo de pieza particular, y ${}_{d}\!C_{s}$ es el número de combinaciones de d cosas tomadas en s, lo que es igual a

${\frac {d!}{s!(d-s)!}}$

Si añadimos a nuestra fórmula el operador $n-2$ obtenemos una expresión para el número de piezas de cualquier n, d, y s

$2^{s}\cdot {}_{d}\!C_{s}\cdot (n-2)$

A partir de estos planteamientos podemos deducir el número de piezas de todos los tipos, por ejemplo de un análogo de la forma $3^{d}$:

d\s	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Piezas totales	Estampitas totales
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	1	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	2
2	1	4	4	0	0	0	0	0	0	0	0	9	12
3	1	6	12	8	0	0	0	0	0	0	0	27	54
4	1	8	24	32	16	0	0	0	0	0	0	81	216
5	1	10	40	80	80	32	0	0	0	0	0	243	810
6	1	12	60	160	240	192	64	0	0	0	0	729	2916
7	1	14	84	280	560	672	448	128	0	0	0	2187	10206
8	1	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	0	0	6561	34992
9	1	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	0	19683	118098
10	1	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	59049	393660

• Datos: Q5700732