Prima elemento

En ringo-teorio, prima elemento estas tia nenula elemento de komuta ringo ke, se ĝi dividas produton de pluraj elementoj, do ĝi dividas almenaŭ unu el tiuj.

Difino

Pri nenula elemento $r\in R$ de komuta ringo $R$ la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj, kaj elemento plenumanta ilin estas prima:

Ĝi ne estas inversigebla elemento, kaj pri ajnaj j $a,b,c\in R$ , se $ab=cr$ , do ekzistas $d\in R$ , tia ke $dr\in \{a,b\}$ .
Pri nenegativa entjero $n$ $n$ kaj elementoj $a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}$ $a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}$ , se $p$ $p$ dividas la produton $a_{1}a_{2}\dotsm a_{n}$ $a_{1}a_{2}\dotsm a_{n}$ , do ekzistas $i\in \{1,\dotsc ,n\}$ $i\in \{1,\dotsc ,n\}$ tia ke $p$ $p$ dividas $a_{i}$ $a_{i}$ .
- Speciale, se $n=0$ , do se $p$ dividus 1 (t.e. estus inversigebla elemento), do ekzistus $i\in \varnothing$ , sed tio ne eblas; tial, $p$ ne estas inversigebla elemento.
La ĉefidealo $(p)$ estas prima idealo.
La kvocienta ringo $R/(p)$ estas integreca ringo.