Plurkvadrato

La 18 unuflankaj 5-kvadratoj, inkluzivante 6 spegulajn parojn

La 35 liberaj 6-kvadratoj, kolorigita laŭ ilia simetrio.

La 108 liberaj 7-kvadratoj.

En matematiko, plurkvadrato estas plurformo surbaze de kvadrato. Ĝi estas koneksa formo formita per la unio de unu aŭ pli multaj identaj kvadratoj en malsamaj situoj en la ebeno, prenitaj el la regula kvadrata kahelaro, tiel ke ĉiu kvadrato estas koneksa al ĉiu la alia kvadrato tra vico de komunigitaj lateroj (kio estas ke formoj koneksaj nur tra komunigitaj verticoj de kvadratoj estas ne permesitaj).

En iuj ĉirkaŭtekstoj, la difino de plurkvadrato estas malstreĉigita aŭ rafinita. Iam estas postulite ke plurkvadratoj estas simple koneksaj, iam ili povas havi truojn (regionoj kiu estas ne kahelitaj per la kvadratoj apartenantaj al la plurkvadrato, sed kiu estas nekonksaj al la cetera eksteraĵo de la plurkvadrato).

Rilatantaj al plurkvadratoj estas plurtrianguloj, formitaj el egallateraj trianguloj; plurseslateroj, formitaj el regulaj seslateroj kaj la aliaj plurformoj. Iam plurkvadratoj estas ĝeneraligitaj al tri aŭ pli multaj dimensioj kiel plurkuboj, kiuj estas kunigitaj kuboj.

Plurkvadratoj estas fonto de kombinaj problemoj, la plej baza estas numerado (kalkulado de kvanto) de plurkvadratoj de donita amplekso. La ĝenerala formulo ne estas trovita, tamen estas formuloj por specialaj klasoj de plurkvadratoj. Tamen, pritaksoj de la kvanto estas sciataj, kaj estas algoritmoj por kalkuli ilin.

Liberaj, unuflankaj kaj fiksitaj plurkvadratoj

Estas tri komunaj manieroj de difino de tio kiuj plurkvadratoj estas konsiderataj kiel malsamaj:

• Liberaj plurkvadratoj estas malsamaj unu de la alia se ne estas rigida transformo (traduko, turnado, reflekto aŭ glita reflekto) inter ili. Ĉi tiu varianto respektivas al aĵoj faritaj el iu materialo, kiujn eblas meti ajne fizike sur tabulon.
• Unuflankaj plurkvadratoj estas malsamaj unu de la alia se ne estas movo aŭ turnado inter ili. Ĉi tiu varianto respektivas al aĵoj faritaj el iu materialo kun nur unu vizaĝa surfaco, kiujn eblas meti ajne fizike sur tabulon, sed la vizaĝa flanko devas esti supre.
• Fiksitaj plurkvadratoj estas malsamaj unu de la alia se ne estas movo inter ili.

Numerado de plurkvadratoj

Jen estas la kvantoj de plurkvadratoj kun n kvadratoj kun diversaj difinoj de la malsameco. La skribmaniero A_n estas por la kvanto de fiksitaj plurkvadratoj de n kvadratoj (eble kun truoj).

n	nomo	liberaj	liberaj kun truoj	liberaj sen truoj	unuflankaj	fiksitaj An
1	kvadrato	1	0	1	1	1
2	2-kvadrato (domeno)	1	0	1	1	2
3	3-kvadrato	2	0	2	2	6
4	4-kvadrato	5	0	5	7	19
5	5-kvadrato	12	0	12	18	63
6	6-kvadrato	35	0	35	60	216
7	7-kvadrato	108	1	107	196	760
8	8-kvadrato	369	6	363	704	2,725
9	9-kvadrato	1285	37	1248	2500	9910
10	10-kvadrato	4655	195	4460	9189	36446
11	11-kvadrato	17073	979	16094	33896	135268
12	12-kvadrato	63600	4663	58937	126759	505861

Kiel en 2004, Iwan Jensen kalkulis la fiksitajn plurkvadratojn supren ĝis n=56, A₅₆ estas proksimume 6,915×10³¹. Liberaj plurkvadratoj estas kalkulitaj supren ĝis n=28 de Tomás Oliveira e Silva.

Simetrioj de plurkvadratoj

La duedra grupo D₄ estas la grupo de simetrioj (geometria simetria grupo) de kvadrato. Ĉi tiu grupo enhavas kvar turnadojn kaj kvar reflektojn. Ĝi estas generita per alternaj reflektoj ĉirkaŭ la x-akso kaj ĉirkaŭ la diagonalo. Unu libera plurkvadrato respektivas al maksimume 8 fiksitaj plurkvadratoj, kiuj estas ĝiaj bildoj sub la simetrioj de D₄. Tamen, tiuj bildoj estas ne bezone malsamaj, ju pli multon da simetrio libera plurkvadrato havas, des malpli multaj malsamaj fiksitaj versioj estas. Pro ĉi tio, libera plurkvadrato kiu estas invarianta sub iuj ne-bagatelaj simetrioj de D₄ povas respektivi al nur 4, 2 aŭ 1 fiksitaj plurkvadratoj. Tiel liberaj plurkvadratoj estas ekvivalentklasoj de fiksis plurkvadratoj sub la grupo D₄.

Plurkvadratoj havas jenajn eblajn simetriojn:

Kvanto de malsamaj fiksitaj plurkvadratoj por libera plurkvadrato	Simetrio	Geometria simetria grupo	La plej malgranda kvanto de kvadratoj bezonataj en plurkvadrato por la okazo
8	sen simetrio		4
4	spegula simetrio kun respekto al unu el la kradaj linioj		4
4	spegula simetrio kun respekto al unu el la diagonalaj linioj		3
4	2-obla turna simetrio	C2	4
2	simetrio kun respekto al ambaŭ kradaj liniaj direktoj, kaj do ankaŭ 2-obla turna simetrio	D2	2
2	simetrio kun respekto al ambaŭ diagonalaj direktoj, kaj de ĉi tie ankaŭ 2-obla turna simetrio	D2	7
2	4-obla turna simetrio	C4	8
1	ĉiu simetrio de la kvadrato	D4	1

Jen estas la kvantoj de plurkvadratoj kun n kvadratoj, ordigitaj laŭ simetriaj grupoj:

n	neniu	spegula (90°)	spegula (45°)	C2	D2 (90°)	D2 (45°)	C4	D4
1	0	0	0	0	0	0	0	1
2	0	0	0	0	1	0	0	0
3	0	0	1	0	1	0	0	0
4	1	1	0	1	1	0	0	1
5	5	2	2	1	1	0	0	1
6	20	6	2	5	2	0	0	0
7	84	9	7	4	3	1	0	0
8	316	23	5	18	4	1	1	1
9	1196	38	26	19	4	0	0	2
10	4461	90	22	73	8	1	0	0
11	16750	147	91	73	10	2	0	0
12	62878	341	79	278	15	3	3	3

Algoritmoj por kalkulado de fiksitaj plurkvadratoj

Induktaj algoritmoj

Ĉiu plurkvadrato de ordo n+1 povas esti ricevita per aldono de kvadrato al plurkvadrato de ordo n. Ĉi tio donas algoritmojn por generado de plurkvadratoj indukte.

Plej simple, por donita listo de plurkvadratoj de ordo n, kvadratoj povas esti aldonataj apud ĉiu plurkvadrato en ĉiu ebla pozicio, kaj la rezultantaj plurkvadratoj de ordo n+1 estas aldonataj al la listo se ne estas la samo jam trovita. Ĉi tiu maniero povas esti uzata al numerigi liberajn aŭ fiksitajn plurkvadratojn.

Pli malnaiva maniero, priskribita de Redelmeier, estas uzata de multaj aŭtoroj kiel maniero de kalkulado de plurkvadratoj sen postulo ke ĉiuj plurkvadratoj de ordo n estas konservita por ke numerigi tiujn de ordo n+1. La maniero estas ankaŭ uzata kiel bazo por pruvo de superaj baroj pri kvantoj de plurkvadratoj (vidu sube). La baza ideo estas ke oni komencu kun sola kvadrato, kaj de tie, rikure adiciu kvadratojn. Dependante de la detaloj, ĝi povas kalkuli ĉiun n-kvadraton n fojojn, po unu startante de ĉiu el ĝiaj n kvadratoj, aŭ povas esti aranĝita kalkuli ĉiun nur unufoje.

La plej simpla realigo engaĝas aldonon de kvadrato po unu en fojo. Komencu kun komenca kvadrato, nombrigu la najbarajn kvadratojn, laŭhorloĝnadle de la supro, 1, 2, 3 kaj 4. Nun prenu nombron inter 1 kaj 4, kaj aldonu kvadraton je tiu situo. Nombrigu la nenombritaj najbarajn kvadratojn, startante de 5. Tiam, prenu nombron pli grandan ol la antaŭe prenita nombro, kaj aldonu tie kvadraton. Daŭru prenante nombron pli grandan ol la nombro kie antaŭ estis ĵus aldonita kvadrato, aldonu ankoraŭ unu kvadraton kaj numerigu la novajn najbarajn kvadratojn. Kiam n kvadratoj estas kreitaj, n-kvadrato estas kreita.

Ĉi tiu maniero certigas ke ĉiu fiksita plurkvadrato estas kalkulita akurate n fojojn, po unu por ĉiu startanta kvadrato. Ĝi povas esti optimumigita tiel ke ĝi kalkulu ĉiun plurkvadraton nur unufoje. Startante kun la komenca kvadrato, deklaru ĝin al esti la suba-maldekstra kvadrato de la plurkvadrato. Ne nombrigu kvadratojn kiuj estas en pli suba linio, aŭ maldekstre de la unua kvadrato en la sama linio. Ĉi tio estas la versio priskribita de Redelmeier.

Se necesas kalkuli liberajn plurkvadratojn anstataŭe, tiam oni povas kontroli simetriojn post kreo de ĉiu n-kvadrato. Tamen, estas pli rapide generi simetriajn plurkvadratojn aparte (per variado de ĉi tiu maniero) kaj tiel difini la kvanton de liberaj plurkvadratoj per lemo de Burnside.

Tradono-matrica maniero

La plej moderna algoritmo por kalkulado de fiksitaj plurkvadratoj estis esplorita de Iwan Jensen. Ĝi estas plibonigo de maniero de Andrew Conway, ĝi estas eksponente pli rapida ol la antaŭaj manieroj (tamen, ĝia rula tempo estas ankoraŭ eksponenta funkcio de n).

Ambaŭ versioj de Conway kaj Jensen de la tradono-matrica maniero engaĝas kalkuladon de la kvanto de plurkvadratoj kiuj havas certan larĝon. Sumigo de la kvantoj por ĉiuj larĝoj donas la tutecan kvanton de plurkvadratoj. La baza ideo de la maniero estas ke eblaj komencaj linioj estas konsiderataj, kaj tiam difini la minimuman kvanton de kvadratoj bezonataj por plenumi la plurkvadrato de la donita larĝo. Kombinite kun uzo de generantaj funkcioj, ĉi tiu tekniko estas povas kalkuli multajn plurkvadratojn en unu kalkulaĵo, tial kapable ruliĝi je multaj fojoj pli rapide ol manieroj kiuj devas generi ĉiun plurkvadraton aparte.

Kvankam ĉi tiu algoritmo havas relative bonan rulan tempon, la manko de ĝi estas ke ĝi uzas eksponente kreskantan kvanton de memoro (multaj gigabajtoj de memoro estas bezonata por n pli granda ol 50), estas multe pli peza por programado ol la aliaj manieroj, kaj ne povas aktuale esti uzata por kalkuli liberajn plurkvadratojn.

Asimptota kreskado de la kvantoj de plurkvadratoj

Fiksitaj plurkvadratoj

Teoriaj argumentoj kaj ciferecaj kalkuloj donas pritakson

$A_{n}\sim {\frac {c\lambda ^{n}}{n}}$

kie λ=4,0626 kaj c=0,3169. Tamen, ĉi tiu rezulto estas ne pruvita kaj la valoroj de λ kaj c estas nur pritaksoj.

La sciataj teoriaj rezultoj estas ne sufiĉe specifaj por ĉi tiu pritakso. Estas pruvite ke ekzistas limeso

$\lim _{n\rightarrow \infty }(A_{n})^{1/n}=\lambda$

En aliaj vortoj, A_n kreskas eksponente. La plej bona sciata suba baro por λ estas 3,980137. La plej bona sciata supera baro por λ, ne plibonigita ekde la 1970-aj jaroj, estas 4,65.

Por trovi suban baron, simpla sed efika maniero estas kunmeto de plurkvadratoj. Difinu la supro-dekstran kvadraton al esti la plej dekstra kvadrato en la plej supra linio de la plurkvadrato. Difinu la subo-maldekstran kvadraton simile. Tiam, la supro-dekstra kvadrato de ĉiu plurkvadrato de amplekso n povas ligiĝi al la subo-maldekstra kvadrato de ĉiu plurkvadrato de amplekso m por produkti unikan (n+m)-kvadraton. Ĉi tio montras ke A_nA_m≤A_n+m . Uzante ĉi tiun kondiĉon, eblas montri ke $\lambda \geq (A_{n})^{1/n}$ por ĉiu n. Plibonigo de ĉi tiu ideo kombinita kun datumoj por A_n donas la suban baron donitan pli supre.

La supera baro estas ricevita per ĝeneraligo de la indukta maniero de numerigo de plurkvadratoj. Anstataŭ aldono de unu kvadrato je fojo, oni aldonas akumuliĝon de kvadratoj je fojo. Ĉi tio estas ofte priskribata kiel aldono de branĉetoj. Per pruvo ke ĉiu n-kvadrato estas vico de branĉetoj, kaj per pruvo de limigoj pri la kombinaĵoj de eblaj branĉetoj, oni ricevas superan baron por la kvanto de n-kvadratoj. Ekzemple, en la algoritmo de konstruado donita pli supre, je ĉiu paŝo oni devas elekti pli grandan nombron, kaj maksimume tri novaj nombroj estas aldonataj (pro tio ke maksimume tri nenombritaj kvadratoj estas najbaraj al ĉiu nombrita kvadrato). Ĉi tio povas esti uzata por ricevi superan baron de 6,75. Uzante 2,8 milionojn branĉetojn, Klarner kaj Rivest ricevis superan baron 4,65.

Liberaj plurkvadratoj

Proksimumadoj por la kvanto de fiksitaj plurkvadratoj kaj liberaj plurkvadratoj estas simple rilatantaj un al la alia. Libera plurkvadrato sen simetrioj (turnado aŭ reflekto) respektivas al 8 malsamaj fiksitaj plurkvadratoj, kaj por granda n, plejparto de n-kvadratoj ne havas simetriojn. Pro tio, la kvanto de fiksitaj n-kvadratoj estas proksimume je 8 fojoj pli granda ol la kvanto de libera n-kvadratoj. Ankaŭ, ĉi tiu proksimumado iĝas eksponente pli precizan kiam n pligrandiĝas.

Specialaj klasoj de plurkvadratoj

Akurataj formuloj estas konataj por kalkulado de kvantoj de plurkvadratoj de specialaj klasoj, kiel la klaso de konveksaj plurkvadratoj kaj la klaso de direktitaj plurkvadratoj.

La difino de konveksa (fakte, kvazaŭ-konveksa) plurkvadrato estas malsama de la kutima difino de konvekseco. Plurkvadrato estas kolumno-konveksa se ĝia intersekco kun ĉiu vertikalo estas konveksa, do tio estas ke ĉiu kolumno ne havas truojn. Simile, plurkvadrato estas linio-konveksa se ĝia intersekco kun ĉiu horizontalo estas konveksa. Plurkvadrato estas dirita al esti konveksa se ĝi estas linie kaj kolumne konveksa.

Plurkvadrato estas direktita se ĝi enhavas kvadraton, nomatan kiel la radiko, tian ke ĉiu la alia kvadrato povas esti atingita per movadoj supren aŭ dekstren je unu kvadrato, sen laso de la plurkvadrato.

Direktitaj plurkvadratoj, kolumnaj (aŭ liniaj) konveksaj plurkvadratoj, kaj konveksaj plurkvadratoj estas efike kalkulataj per areo n, kaj ankaŭ per iuj la aliaj parametroj kiel perimetro, uzante generantajn funkciojn.

Kaheladoj

Kahelado de regionoj kun aroj de plurkvadratoj

Enigmoj kutime petas kaheli donitan regionon kun donita aro de plurkvadratoj. Tipa ekzemplo estas al kaheli 6×10 ortangulon kun la 12 5-kvadratoj; la 2339 solvaĵoj al ĉi tio estas trovitaj en 1960. Por kahelado en kiu multaj kopioj de la plurkvadratoj el la aro estas permesitaj, Golomb donas hierarkion de malsamaj regionoj kiujn la aro povas kaheli, kiel ortanguloj, bendoj kaj la tuta ebeno, kaj montras ke la demando de tio ĉu la ebeno povas esti kahelita per plurkvadratoj de donita aro estas nedecidebla, per surĵeto de aroj de kahelaro de Wang al aroj de plurkvadratoj.

Kahelado de regionoj kun kopioj de sola plurkvadrato

Alia klaso de problemoj demandas ĉu kopioj de donita plurkvadrato povas kaheli ortangulon, kaj kiajn ortangulajn ili povas kaheli. Ĉi tiuj problemoj estas multe studitaj por apartaj plurkvadratoj, kaj tabeloj de rezultoj por apartaj plurkvadratoj estas haveblaj. Klarner kaj Göbel montris ke por ĉiu plurkvadrato estas finia aro de primaj ortanguloj kiujn ĝi kahelas, tiel ke ĉiuj la aliaj ortanguloj kiuj ĝi kahelas povas esti kahelitaj per ĉi tiuj primaj ortanguloj.

Preter ortanguloj, Golomb donis hierarkion por solaj plurkvadratoj: plurkvadrato povas kaheli ortangulon, duonon de bendo, kurban bendon, pligrandigitan kopion de si, kvaronebenon, bendon, duonebenon, tutan ebenon, certajn kombinaĵojn, aŭ nenion el ĉi tio. Estas certaj implikacioj inter ĉi tiuj, ambaŭ evidentaj (ekzemple, se plurkvadrato kahelas duonebenon do ĝi kahelas la tutan ebenon) kaj malpli evidentaj (ekzemple, se plurkvadrato kahelas pligrandigitan kopion de si do ĝi kahelas kvaronebenon). Plurkvadratoj de ordoj supren ĝis 6 estas priskribitaj en ĉi tiu hierarkio (kun nesolvita tiam la statuso de unu 6-kvadrato, poste estis trovite ke ĝi kahelas ortangulon).

Kahelado de ebeno kun kopioj de sola plurkvadrato

Ĉiuj plurkvadratoj de ordoj 1 ... 6 kahelas ebenon, ĉiuj 7-kvadratoj krom 4 kahelas ebenon. David Bird trovis ke ĉiuj 8-kvadratoj krom 26 kahelas ebenon. Rawsthorne trovis ke ĉiuj 9-plurkvadratoj krom 235 kahelas ebenon. Ĉi tiaj rezultoj estas etenditaj al pli alta ordoj de Rhoads (al ordo 14) kaj aliaj. Plurkvadrataj kahelaroj de ebeno estas klasifikitaj per la simetrioj kaj per la kvanto de aspektoj (orientiĝoj) en kiuj la kaheloj aperas en ili.

Uzoj de plurkvadratoj

Plurkvadratoj estas uzataj en popularaj enigmoj ekde almenaŭ jaro 1907, kaj la numerado de 5-kvadratoj estas datita al antikveco. La observado ke estas 12 malsamaj ŝablonoj (la 5-kvadratoj) kiuj povas esti formitaj per kvin trakonektitaj ŝtonoj sur tabulo de ludo goo estas atribuita al antikva majstro de la ludo. Multaj rezultoj pri la pecoj de 1 al 6 kvadratoj estis unue publikigitaj en Fea Ŝakluda Recenzo inter la jaroj 1937 al 1957, sub la nomo "sekcaj problemoj".

Plurkvadratoj kuraĝigis gravajn esplorojn en matematiko kaj estas fekunda subjekto por logikaj enigmoj kaj ripoza matematiko. Defioj estas ofte por kovrado (kahelado) de preskribita regiono, aŭ la tuta ebeno, kun plurkvadratoj, aŭ faldado de plurkvadrato por krei aliajn formojn. Gardner proponis kelkajn simplajn ludojn kun aro de liberaj 5-kvadratoj kaj ŝakluda tabulo.

Iuj variantoj de la sudoko uzas plurkvadrato-formitajn regionojn sur la krado. La ludo tetriso estas bazita sur la sep unuflankaj 4-kvadratoj, kaj la tabulludo Blokus uzas ĉiujn liberajn plurkvadratojn supren ĝis 5-kvadratoj.

Vidu ankaŭ

• Kahelaro
• Kvadrata kahelaro
• Kahelara enigmo
• Blokus, tabulludo uzanta plurkvadratojn.
• Tetriso

Eksteraj ligiloj

• Kvantoj de plurkvadratoj
  • A000105 en OEIS liberaj
  • A001419 en OEIS liberaj kun truoj
  • A000104 en OEIS liberaj sen truoj
  • A000988 en OEIS unuflankaj
  • A001168 en OEIS fiksitaj
  • laŭ simetrioj
    • A006749 en OEIS neniu
    • A006746 en OEIS spegula (90°)
    • A006748 en OEIS spegula (45°)
    • A006747 en OEIS C₂
    • A056877 en OEIS D₂ (90°)
    • A056878 en OEIS D₂ (45°)
    • A144553 en OEIS C₄
    • A142886 en OEIS D₄
• Retejo de Solomon W. Golomb Arkivigite je 2007-07-28 per la retarkivo Wayback Machine
• Kvaraĵoj de Karl Scherer ĉe Volframa Demonstracia Projekto.
• Interaga plurkvadrato-kahelara apliko
• Plurkvadrataj finio-ortangulaj kahelaroj de Karl Dahlke
• Notoj pri numerado de plurkvadratoj kun diversaj simetrioj en MathPages
• Listo de sekcaj problemoj en Fea Ŝakluda Recenzo
• Numerigo de fiksitaj plurkvadratoj ĝis n = 56 Arkivigite je 2009-10-09 per la retarkivo Wayback Machine
• Papero priskribanta modernajn pritaksojn
• Realigo kaj priskribo de maniero de Jensen Arkivigite je 2010-07-11 per la retarkivo Wayback Machine
• Bousquet-Mélou, Mireille (1998). New enumerative results on two-dimensional directed animals - Novaj numerigaj rezultoj pri du-dimensiaj direktitaj bestoj. Discrete Mathematics - Diskreta Matematiko 180 (1–3) 73–106. COI:10.1016/S0012-365X(97)00109-X.
• Bousquet-Mélou, Mireille; Fédou, Jean-Marc (1995). The generating function of convex polyominoes: The resolution of a q-differential system - La generanta funkcio de konveksaj plurkvadratoj: la solvo de q-diferenciala sistemo. Discrete Mathematics - Diskreta Matematiko 137 (1–3) 53–75. COI:10.1016/0012-365X(93)E0161-V.
• Conway, Andrew (1995). Enumerating 2D percolation series by the finite-lattice method: theory - Numerigo de 2D filtrada serio per la finio-krada maniero: teorio. Journal of Physics. A. Mathematical and General - Ĵurnalo de Fiziko. A. Matematika kaj Ĝenerala 28 (2) 335–349. COI:10.1088/0305-4470/28/2/011.
• Delest, M.-P. (1988). Generating functions for column-convex polyominoes - Generantaj funkcioj por kolumno-konveksaj plurkvadratoj. Journal of Combinatorial Theory. Series A - Ĵurnalo de Kombina Teorio. Serio A 48 (1) 12–31. COI:10.1016/0097-3165(88)90071-4.
• Gardner, Martin (Julio 1965). On the relation between mathematics and the ordered patterns of Op art - Pri la rilato inter matematiko kaj la orditaj ŝablonoj de Op arto. Scientific American - Scienca Amerika 213 (1) 100–104.
• Golomb, Solomon W. (1966). Tiling with Polyominoes - Kahelado per plurkvadratoj. Journal of Combinatorial Theory - Ĵurnalo de Kombina Teorio 1 280–296. COI:10.1016/S0021-9800(66)80033-9.
• Golomb, Solomon W. (1970). Tiling with Sets of Polyominoes - Kahelaro per aroj de plurkvadratoj. Journal of Combinatorial Theory - Ĵurnalo de Kombina Teorio 9 60–71. COI:10.1016/S0021-9800(70)80055-2.
• Jensen, Iwan (Februaro 2001). Enumerations of Lattice Animals and Trees - Numeradoj de kradaj bestoj kaj arboj (antaŭprintaĵo). Journal of Statistical Physics - Ĵurnalo de Statistika Fiziko 102 (3–4) 865–881. COI:10.1023/A:1004855020556. Kontrolita en 2007-05-10.
• Jensen, Iwan; Guttmann, Anthony J. (2000). Statistics of lattice animals (polyominoes) and polygons - Statistiko de kradaj bestoj (plurkvadratoj) kaj plurlateroj. Journal of Physics. A. Mathematical and General - Ĵurnalo de Fiziko. A. Matematika kaj Ĝenerala 33 L257–L263. COI:10.1088/0305-4470/33/29/102.
• Keating, K.; Vince, A. (1999). Isohedral Polyomino Tiling of the Plane - Edro-transitiva plurkvadrata kahelaro de la ebeno. Discrete & Computational Geometry - Diskreta & Komputa Geometrio 21 615–630. COI:10.1007/PL00009442.
• Klarner, D. A.; Rivest, R. L. (1973). A procedure for improving the upper bound for the number of n-ominoes - Proceduro por plibonigo de la supera baro por la kvanto de n-kvadratoj (PDF de teknika raporta versio). Canadian Journal of Mathematics - Kanada Ĵurnalo de Matematiko 25 585–602. Kontrolita en 2007-05-11.
• Rawsthorne, Daniel A. (1988). Tiling complexity of small n-ominoes (n<10) - Kahelara komplikeco de malgranda n-kvadratoj (n<10). Discrete Mathematics - Diskreta Matematiko 70 71–75. COI:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
• Redelmeier, D. Hugh (1981). Counting polyominoes: yet another attack - Kalkulado de plurkvadratoj: ankoraŭ alia atako. Discrete Mathematics - Diskreta Matematiko 36 191–203. COI:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
• Rhoads, Glenn C. (2005). Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds - Ebenaj kahelaroj per plurkvadratoj, plurseslateroj, kaj plurtrianguloj. Journal of Computational and Applied Mathematics - Ĵurnalo de Komputa kaj Aplikita Matematiko 174 329–353. COI:10.1016/j.cam.2004.05.002.
• Klarner, David A. (Februaro 1973). A Finite Basis Theorem Revisited - Finia baza teoremo rekonsiderita (PDF). Stanford University Technical Report STAN-CS-73–338 - Teknika raporto de Universitata de Stanford STAN-CS-73–338. Kontrolita en 2007-05-12.
• Tomás Oliveira e Silva. Animalaj numeradoj sur la {4,4} eŭklida kahelaro. Kontrolita en 2007-05-06.
• Reid, Michael. References for Rectifiable Polyominoes - Referencoj por rektifeblaj plurkvadratoj. Kontrolita en 2007-05-11.
• Reid, Michael. List of known prime rectangles for various polyominoes - Listo de sciataj primaj ortanguloj por diversaj plurkvadratoj. Kontrolita en 2007-05-11.
• Iwan Jensen. Series for lattice animals or polyminoes - Serio por kradaj bestoj aŭ plurkvadratoj. Kontrolita en 2007-05-06.
• Eric W. Weisstein, Plurtriangulo en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Plurkvadrato en MathWorld.